抛物线的基本知识点（定义+方程+易错点+公式+例题）归纳总结

抛物线是数学中一种重要的曲线形式，具有广泛的应用和理论意义。掌握抛物线的基本知识点不仅可以帮助我们解决实际问题，还有助于拓展我们的数学思维和推理能力。下面是小编整理的抛物线的基本知识点总结，拉至文末查看完整的领取方式可下载打印！

资源内容展示如下

文章目录

抛物线的定义与性质

抛物线的方程与解析式

抛物线易错知识点汇总

数学抛物线的公式及复习技巧

抛物线习题与例题解析

抛物线的定义与性质

抛物线及其性质

1．抛物线定义：平面内到一定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．

2．抛物线四种标准方程的几何性质：

图形
参数p几何意义	参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.
开口方向	右	左		上	下
标 准方 程
焦 点位 置	X正	X负		Y正	Y负
焦 点坐 标
准 线方 程
范 围
对 称轴	X轴	X轴		Y轴	Y轴
顶 点坐 标	（0,0）
离心率
通 径	2p
焦半径
焦点弦长
焦点弦长的补充	以为直径的圆必与准线相切
	若的倾斜角为，		若的倾斜角为，则

3．抛物线的几何性质：

(1)范围：因为p>0，由方程可知x≥0，所以抛物线在轴的右侧， 当的值增大时，||也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．

(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向．

(3)顶点（0，0），离心率：，焦点，准线，焦准距p．

(4) 焦点弦：抛物线的焦点弦，, ,则．

弦长|AB|=x₁+x₂+p,当x₁=x₂时，通径最短为2p。

4．焦点弦的相关性质：焦点弦，,，焦点

(1) 若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。

(2) 若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。

(3) 已知直线AB是过抛物线焦点F ,

(4) 焦点弦中通径最短长为2p。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．

(5) 两个相切：以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

5．弦长公式：,是抛物线上两点，则

6.直线与抛物线的位置关系

　　直线，抛物线，

　　，消y得：（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；

（2）当k≠0时，

Δ＞0，直线与抛物线相交，两个不同交点；

Δ=0， 直线与抛物线相切，一个切点；

Δ＜0，直线与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）

7.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法

直线： 抛物线，

1　联立方程法：

设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出，

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如

a. 相交弦AB的弦长

或

b. 中点,，

2　点差法：

设交点坐标为，，代入抛物线方程，得

将两式相减，可得

a. 在涉及斜率问题时，

b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，，

即，

同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有

（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）

【经典例题】

（1）抛物线——二次曲线的和谐线

椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.

【例1】P为抛物线上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（ ）

相交 相切 相离 位置由P确定

【解析】如图，抛物线的焦点为，准线是

.作PH⊥于H，交y轴于Q，那么，

且.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的

中位线，.故以

PF为直径的圆与y轴相切，选B.

【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则

分别是相离或相交的.

（2）焦点弦——常考常新的亮点弦

有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.

【例2】 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，求证：

（1） （2）

【证明】（1）如图设抛物线的准线为，作

，

.两式相加即得：

（2）当AB⊥x轴时，有

成立；

当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：.代入抛物线方程：

.化简得：

∵方程（1）之二根为x₁，x₂，∴.

.

故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有成立.

（3）切线——抛物线与函数有缘

有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.

【例3】证明：过抛物线上一点M（x₀，y₀）的切线方程是：y₀y=p（x+x₀）

【证明】对方程两边取导数：

.由点斜式方程：

y₀y=p（x+x₀）

（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏

抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.

例如：1.一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点 （ ）

显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.

2.抛物线的通径长为2p；

3.设抛物线过焦点的弦两端分别为，那么：

以下再举一例

【例4】设抛物线的焦点弦AB在其准线上的射影是A₁B₁，证明：以A₁B₁为直径的圆必过一定点

【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A₁B₁=AB=2p，而A₁B₁与AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.

【证明】如图设焦点两端分别为，

那么：

设抛物线的准线交x轴于C，那么

.

这就说明：以A₁B₁为直径的圆必过该抛物线的焦点.

● 通法 特法 妙法

（1）解析法——为对称问题解困排难

解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.

【例5】（10.四川文科卷.10题）已知抛物线

y=-x²+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点

A、B，则|AB|等于（ ）

A.3 B.4 C.3 D.4

【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段

AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.

【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称，∴设直线AB的方程为：. 由

设方程（1）之两根为x₁，x₂，则.

设AB的中点为M（x₀，y₀），则.代入x+y=0：y₀=.故有.

从而.直线AB的方程为：.方程（1）成为：.解得：

，从而，故得：A（-2，-1），B（1，2）.，选C.

（2）几何法——为解析法添彩扬威

虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.

【例6】（11.全国1卷.11题）抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积（ ）

A． B． C． D．

【解析】如图直线AF的斜率为时∠AFX=60°.

△AFK为正三角形.设准线交x轴于M，则

且∠KFM=60°，∴.选C.

【评注】（1）平面几何知识：边长为a的正三角形的

面积用公式计算.

（2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.

（3）定义法——追本求真的简单一着

许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.

【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线

的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的线为，焦点为与的一个交点为，则等于（ ）

A． B． C． D．

【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.

如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半

焦距c，离心率为e，作，令

.∵点M在抛物线上，

，

这就是说：的实质是离心率e.

其次，与离心率e有什么关系？注意到：

.

这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于.∴选 A..

（4）三角法——本身也是一种解析

三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.

因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.

【例8】（09.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。

（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；

（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交

x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。

【解析】（Ⅰ）焦点F（2，0），准线.

（Ⅱ）直线AB：

代入（1），整理得：

设方程（2）之二根为y₁，y₂，则.

设AB中点为

AB的垂直平分线方程是：.

令y=0，则

故

于是|FP|-|FP|cos2a=，故为定值.

（5）消去法——合理减负的常用方法.

避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.

【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线：（1）与抛物线有两个不同的交点A和B；（2）线段AB被直线：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线的方程.

【解析】假定在抛物线上存在这样的两点

∵线段AB被直线：x+5y-5=0垂直平分，且

.

设线段AB的中点为.代入x+5y-5=0得x=1.于是：

AB中点为.故存在符合题设条件的直线，其方程为：

（6）探索法——奔向数学方法的高深层次

有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想——证明——再猜想——再证明.终于发现“无限风光在险峰”.

【例10】（10.安徽卷.14题）如图，抛物线y=-x²+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P₁,P₂,…,P_n-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q₁，Q₂，…，Q_n-1，从而得到n-1个直角三角形△Q₁OP₁, △Q₂P₁P₂,…, △Q_n-1P_n-1P_n-1,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为 .

【解析】∵

设OA上第k个分点为

第k个三角形的面积为：

.

故这些三角形的面积之和的极限

抛物线的方程与解析式

抛物线的解析式有三种形式：

    ①一般式：（a≠0）；

②顶点式：，（h，k）是顶点坐标；

③交点式：（a≠0），其中x₁，x₂是方程的两个实根。

在实际应用中，需要根据题目的条件选择相应的形式以简化计算。

利用待定系数法确定二次函数的解析式的步骤可以总结为五个字：设、列、求、定。

例1、已知二次函数图像顶点坐标为（－2，3），且过点（1，0），求此二次函数的解析式。（试用两种不同的方法）

分析：根据所给条件中有顶点坐标的特点，可以选用顶点式。

解法一：

设二次函数的解析式为：

因为二次函数图像过点（1，0）

所以

所以

所以函数解析式为。

分析：根据所给条件中顶点坐标可知，抛物线的对称轴为x＝－2，利用抛物线的对称性，可求得点（1，0）关于对称轴x＝－2的对称点（－5，0），可选用交点式。

解法二：

设二次函数的解析式为：，

因为二次函数图像过点（－2，3）

所以

所以函数解析式为。

点评：当题目条件中有顶点坐标时，选用顶点式；当条件中有两个与x轴的交点时，一般选用交点式。但我们注意到，解法二是在知道抛物线与x轴的一个交点后，利用对称轴可从顶点坐标中得到，再利用抛物线的对称性获得另外一个与x轴的交点坐标，再利用交点式获得结果。两种方法各有千秋，仔细体会必定会有所收获。当然此题也可使用一般式，但不如这两种方法简单。

例2、已知二次函数，当x＝－1时有最小值－4，且图像在x轴上截得线段长为4，求函数解析式。

分析：当题目条件中点的条件不足三个时，要充分利用二次函数的对称性转化条件。在本题中由于所给条件能得到一个顶点坐标（－1，－4），另外一个条件是图像在x轴上截得的线段长，条件似乎不是特别充分。仔细分析，有“当x＝－1时有最小值－4”就知道对称轴，再有“图像在x轴上截得线段长为4”，利用对称性可得图像与x轴的交点坐标为（－3，0），（1，0），从而可利用交点式解决问题。

解：∵当x＝－1时有最小值－4，且图像在x轴上截得线段长为4

∴函数图像与x轴交于（－3，0），（1，0）两点。

∴设二次函数的解析式为

∵二次函数过（－1，－4）

∴

∴a＝1

∴

    点评：本题当然还可直接使用顶点坐标公式转化为关于a，b，c的两个等式，再利用“图像在x轴上截得线段长为4”转化为，组合成一个关于a，b，c的方程组来解。不过这种方法计算量大一些。

例3、如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C。

（1）用尺规画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；

（2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），试验证点D是否在经过点A、B、C的抛物线上；

       （3）在（2）的条件下，求证直线CD是⊙M的切线。

解：（1）如图，点M即为所求。

       （2）由A（0，4），可得小正方形的边长为1，从而B（4，4）、C（6，2）。

       设经过点A、B、C的抛物线的解析式为，      

依题意，解得，

所以经过点A、B、C的抛物线的解析式为，    

把点D（7，0）的横坐标代入上述解析式，

得：       ，

所以点D不在经过A、B、C的抛物线上。

    （3）如下图，设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连结MC，作直线CD。

       所以CE＝2，ME＝4，ED＝1，MD＝5，

在Rt△CEM中，∠CEM＝90°，    

所以，

在Rt△CED中，∠CED＝90°，

所以，

所以，    

所以∠MCD＝90°，  

因为MC为半径，      

所以直线CD是⊙M的切线。

点评：本题第（1）问是一个尺规作图题，需要确定圆心的位置；第（2）问中所给三个点的坐标不具有使用顶点式和交点式的特点，所以只能踏踏实实地利用一般式求解；第（3）问和圆的知识结合起来，求证直线与圆相切。要求熟练使用线段与坐标的相互转化，在证明线与线的垂直关系时还需要使用勾股定理的逆定理。

例4、已知抛物线与轴交于点，与轴分别交于，两点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点为线段的一个三等分点，求直线的解析式；

（3）若一个动点自的中点出发，先到达轴上的某点（设为点），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点），最后运动到点．求使点运动的总路径最短的点，点的坐标，并求出这个最短总路径的长．

解：（1）根据题意，，

所以

解得

所以抛物线解析式为．

（2）依题意可得的三等分点分别为，．

设直线的解析式为．

当点的坐标为时，直线的解析式为；

当点的坐标为时，直线的解析式为．

（3）如图，由题意，可得．

点关于轴的对称点为，

点关于抛物线对称轴的对称点为．

连结．

根据轴对称性及两点间线段最短可知，的长就是所求点运动的最短总路径的长．    5分

所以与轴的交点为所求点，与直线的交点为所求点．

可求得直线的解析式为．

可得点坐标为，点坐标为．

由勾股定理可求出．

所以点运动的最短总路径的长为．

    点评：第（1）问是一个常规的求解析式的问题，比较简单；第（2）问如果注意到线段OA的三等分点有两个，从而判断直线DC有两条，利用待定系数法求出直线解析式，也不难；本题的难点是第（3）问，要求“最短总路径”需要具有扎实的基本功和分析、理解、转化问题的能力。

例5、已知二次函数的图象如图1所示，抛物线与x轴、y轴分别交于点A（－1，0）、B（2，0）、C（0，－2）．

（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标．

（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q，当点N在线段MB上运动时（点N不与点B、点M重合），设OQ的长为t，四边形NQAC的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围．

（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）将△OAC补成矩形，使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．

图1

解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x－2），

∴－2＝a×1×（－2），

∴a＝1，

∴y＝x²－x－2；

其顶点M的坐标是（）．

（2）设线段BM所在直线的解析式为y＝kx＋b，点N的坐标为N（t，  h）， 

∴解得：k＝，b＝－3，

∴线段BM所在的直线的解析式为y＝x－3

∴h＝t－3，

∵－2

∴－2<t－3<0，即

∴S＝S_△AOC＋S_梯形OCNQ＝×1×2＋（2＋∣∣）t＝．

∴s与t间的函数关系式为s＝．自变量t的取值范围为

（3）存在符合条件的点P，且坐标是P₁（），P₂（）．理由如下：

设点P的坐标为P（m，  n），则n＝m²－m－2．PA²＝（m＋1）²＋n²，  PC²＝m²＋（n＋2）²，  AC²＝5．

分以下几种情况讨论：

若∠PAC＝90°，则PC²＝PA²＋AC²．

∴解得：m₁＝，  m₂＝－1（舍去）

∴P₁（）．

若∠PCA＝90°，则PA²＝PC²＋AC²．

∴解得：m₃＝，  m₄＝0（舍去）

∴P₂（）

由图像观察得，当点P在对称轴右侧时，PA>AC，所以边AC的对角∠APC不可能为直角．

（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边OA（或边OC）的对边上，如图2，此时未知顶点坐标是点D（－1，－2）。

以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图3，此时未知顶点坐标是E（－） ，F（）．

易证△AEO∽△OFC，

∴，又AC＝， 

设OE＝a，  则OF＝－a，  AE＝，

由勾股定理得：（）²＋a²＝1，

∴a＝．

∴OE＝，

再设点E的坐标为（x，  y），由射影定理得:x＝－，  y＝，

∴此时未知顶点坐标是E（－）；同理可求得点F的坐标为（）．

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一、填空  

1、已知二次函数的图像经过点，则这个二次函数为           。

2、若二次函数的图像经过原点，则值必为          。

3、如图所示是一学生推铅球时，铅球行进高度与水平距离的函数图像，铅球推出的距离是

4、已知二次函数的图像开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式： 。

5、函数y＝的对称轴是x＝2，且经过点P（3，0），则a＋b＋c＝            ；

6、抛物线经过点A（－1，0），B（4，0）两点，则这条抛物线的解析式为                          。

7、若2，4是方程的两个根，则对应抛物线y＝的对称轴是 。

8、关于x的一元二次方程没有实数根，则抛物线的顶点在 象限。

9、用铝合金型材料做一个形状如图1所示的矩形窗框，设窗框的一边为xm，窗户的透光面积为ym²，y与x的函数图象如图2所示。

（1）观察图象，当x＝      m时，窗户透光面积最大。

（2）当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是          m。

10、若点P（1，a）和Q（－1，b）都在抛物线y＝－x²＋1上，则线段PQ的长是 ．

11、若二次函数的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝      。（只要求写出一个）

12、函数的图象与x轴有且只有一个交点，则k＝        ；交点坐标为          。

二、选择题：  

13、在半径为的圆面上，挖去一个半径为的圆，剩下的面积是，则与的函数关系式是（    ）

A.     B.     C.     D.

14、二次函数的图像上有两个点A（－1，y），B（2，y），则y₁、y₂的大小关系为（   ）   

A. y＞ y  B. y≤y  C. y＜ y   D. y＝ y

15、已知：a＜－1，点（a－1，y₁），（a，y₂），（a＋1，y₃）都在函数的图象上，则（    ）

A. y₁＜y₂＜y₃      B. y₁＜y₃＜y₂     C. y₃＜y₂＜y₁    D. y₂＜y₁＜y₃

16、二次函数y＝x²＋px＋q中，若p＋q＝0，则它的图象必经过点（    ）     

A. （－1，－1）  B. （1，－1）      C. （－1，1）      D. （1，1）

17、抛物线y＝ax²＋bx＋c顶点是（3，－5），且与y轴交于点（0，－2），则抛物线解析式为（    ）

A. y＝3x²＋9x－14              B. y＝3x²－16x＋22

C. y＝x²－2x－2              D. y＝x²－6x＋4.

18、抛物线y＝ax²＋bx＋c中，a＞0，b＞0，c＜0，则顶点在（    ）

A. 第一象限    B. 第二象限    C. 第三象限    D. 第四象限

19、不论x为何值，y＝ax²＋bx＋c永远是正值的条件是（    ）.（其中△＝b²－4ac）

A. a＞0，△＞0  B. a＞0，△＜0  C. a＜0，△＜0  D. a＜0，△＞0.     

20、二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象，如图所示（△＝b²－4ac），那么（    ）

A. b＞0 c＜0 △＞0   B. b＞0 c＞0 △＞0

C. b＜0 c＜0 △＞0   D. b＜0 c＞0 △＜0

21、小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（    ）

A. 3.5m       B. 4m       C. 4.5m       D. 4.6m

22、已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y＝x＋3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y＝－abx²＋（a＋b）x （    ）

    A. 有最小值，且最小值是       B. 有最大值，且最大值是－

C. 有最大值，且最大值是       D. 有最小值，且最小值是－

三、解答题

1、已知二次函数经过点A（－1，0），且经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交点B、C。

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求抛物线的顶点坐标：

（3）若点M在第四象限内的抛物线上，且OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标。

2、如图，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，.

（1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求点，的坐标；

（2）若过点的抛物线与轴相交于点，求抛物线的解析式和对称轴方程；

（3）若（2）中的抛物线与轴交于点，在抛物线上是否存在点，使的内心在坐标轴上？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

（4）若（2）中的抛物线与轴相交于点，点在线段上移动，作直线，当点移动到什么位置时，两点到直线的距离之和最大？请直接写出此时点的坐标及直线的解析式.

【试题答案】

一、1、；2、m＝3；3、10；4、y＝x²＋2；5、0；6、；

7、x＝3；8、第一；9、1，1.5；10、2； 11、10；

12、0，1，9；（－1/3，0），（－1，0），（1/3，0）

二、13、D；14、C；15、C；16、D；17、C；18、C；19、B；20、B；21、B；22、C。

三、1、（1）y＝x²－2x－3；（2）抛物线的顶点坐标（1，－4）；（3）M（）。

2、解法一：（1）依题意，，

在中，. 

.

而，

. 　　

，，

，

点的坐标分别为. 

解法二：（上同解法一）

. 　　

设点的坐标为，

则.

在中，

，　　

，解得，

点的坐标分别为. 　

（2）设抛物线的解析式为，

抛物线过点，

　　　解得

抛物线的解析式为. 

对称轴的方程为. 　

（或用配方法：

对称轴的方程为.）

（3）存在这样的点，使的内心在坐标轴上.

解法一：①若的内心在轴上，设直线与轴相交于点，

，

，点的坐标为.

直线的解析式为. 

解方程组　　得，.

点的坐标为. 

②若的内心在轴上，设直线与轴相交于点，

，

，点的坐标为，

直线的解析式为. 

解方程组　　得，.

点的坐标为. 

综合①②可知点的坐标为或. 

解法二：①当的内心在轴上时，

设的坐标为，

，

过作轴于，. 

，

.

点的坐标为. 

②当的内心在轴上时，

设的坐标为，

，

过作轴于，. 

，

，

. 

点的坐标为.

综合①②可知，点的坐标为或. 　

（4）点的坐标为；直线的解析式为.

提示：

根据“直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短”可知，当直线时，两点到直线的距离之和最大，此时点为垂足。利用三角形相似可求得点的坐标。

点评：此题是一道难得的好题，第1、2小题是常规题，有一定基础的学生均能较轻松的搞定，第3小题是结论存在性问题，又需分类讨论，较容易漏解，第4小题可能比较难，具体解题思路可参考提示。

抛物线易错知识点汇总

【易错点诠释】抛物线的焦点位置有四种不同的位置，在解题时要注意避免因焦点位置不同而出错.

【典例】 求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点的抛物线的标准方程．

【针对练习】

1. 顶点在原点，焦点在x轴上，过焦点作垂直于x轴的直线交抛物线于A，B两点，AB的长为8，求抛物线的方程．

2. 以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（ ）

A. B. C. 或 D. 或3. “”是“方程表示的曲线为抛物线”的（ ）条件.

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

4. （多选）点到抛物线的准线的距离为2，则a的值可以为（ ）

A. B. C. D. 知识点 抛物线的标准方程 易错点 忽略抛物线的焦点所在位置的讨论

【易错点诠释】抛物线的焦点位置有四种不同的位置，在解题时要注意避免因焦点位置不同而出错.

【典例】 求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过点的抛物线的标准方程．

错解：设抛物线，将代入得．故抛物线的标准方程为．

错因分析：错解只考虑了抛物线方程的一种情况，根据题意应还有位于第三、四象限时的抛物线方程．

正解：（1）设抛物线，同错解①．

（2）设，求得标准方程为②．

故综合（1）、（2），满足条件的抛物线的标准方程为或【针对练习】

1. 顶点在原点，焦点在x轴上，过焦点作垂直于x轴的直线交抛物线于A，B两点，AB的长为8，求抛物线的方程．

【答案】【分析】根据抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，设抛物线的方程为求解.

【详解】解：由于抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，

设所求抛物线的方程为．

因为，

所以．

故所求抛物线的方程为．

2. 以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点到准线的距离为4的抛物线方程是（ ）

A. B. C. 或 D. 或

【答案】C

【分析】根据抛物线的概念以及几何性质即可求抛物线的标准方程.

【详解】依题意设抛物线方程为．

因为焦点到准线的距离为4，

所以，所以，

所以抛物线方程为或．

故选：C．

3. “”是“方程表示的曲线为抛物线”的（ ）条件.

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

【答案】A

【分析】根据抛物线的方程及充分条件和必要条件的定义即可求解.

【详解】由题意可知，若方程表示的曲线为抛物线，则.

所以“”是“方程表示的曲线为抛物线”的充分不必要条件，

故选：A.

4. （多选）点到抛物线的准线的距离为2，则a的值可以为（ ）

A. B. C. D. 【答案】AB

【分析】把抛物线，化为标准形式，得 ，故准线方程为：，利用点到直线的距离可得答案.

【详解】抛物线的准线方程为，因为点到抛物线的准线的距离为2，所以，解得或，

故选AB．

【点晴】焦点在轴的抛物线的标准方程为，准线方程为，计算时一定要找准的值.

数学抛物线的公式及复习技巧

　　高中数学抛物线的公式

　　1、抛物线：y=ax__+bx+c就是y等于ax的平方加上bx再加上c。

　　a0时，抛物线开口向上;a0时抛物线开口向下;c=0时抛物线经过原点;b=0时抛物线对称轴为y轴。

　　2、顶点式y=a(x+h)__+k就是y等于a乘以(x+h)的平方+k，-h是顶点坐标的x，k是顶点坐标的y，一般用于求最大值与最小值。

　　3、抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0)。

　　4、准线方程为x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴,故共有标准方程：y^2=2pxy^2=-2p__^2=2pyx^2=-2py。

　　高考数学复习技巧

　　1、训练想像力。有的数学问题既要凭借图形，又要进行抽象思维。同学们不但要学会看图，而且要学会画图，通过看图和画培养自己的空间想象能力比如，几何中的“点”没有大小，只有位置。现实生活中的点和实际画出来的点就有大小。所以说，几何中的“点”只存在于大脑思维中。

　　2、准确理解和牢固掌握各种数学运算所需的概念、性质、公式、法则和一些常用数据，概念模糊，公式、法则含混，必定影响数学运算的准确性。为了提高运算的速度，收集、归纳、积累经验，形成熟练技巧，以提高运算的简捷性和迅速性。

　　3、审题。有些题目的部分条件并不明确给出，而是隐含在文字叙述之中。把隐含条件挖掘出米，常常是数学解题的关键所在，对题目隐含条件的挖掘，都要仔细思考除了明确给出的条件以外，是否还隐含着更多的条件，这样才能准确地理解数学题意。

　　高三提高数学成绩的窍门

　　1、培养良好的学习兴趣

　　常言到：兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它才会去实践它，达到乐在其中，才会形成学习的主动性和积极性就自然的会立志学好数学，成为数学学习的成功者就连孔子不是也说过：知之者不如好之者，好之者不如乐之者“好”和“乐”就是愿意学，喜欢学，这就是兴趣

　　2、培养良好的学习习惯

　　很多数学成绩不好或是基础差的同学都没有好的学习习惯良好的学习习惯会让你的学习感到有序和轻松，高中数学良好的学习习惯应该是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用在跟着老师脚步学习的过程中应该养成把老师讲的知识翻译成自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中

　　数学答题技巧有什么

　　1.检查关键结果。解题过程中得到关键结果，要审查一下这个结果有没有错。一旦出错，后面的解答也是费力不讨好。

　　2.难题不要怕，会多少写多少。数学评卷的主观性很少，评分细则都是细分到每一分，就算不会做，写几个公式也能拿分。

　　3.“做快”≠“做对”。数学应先将准确性放在第一位，不能一味地去追求速度或技巧。狠抓基础题，先小题后大题，确保一次性成功。

　　4.数学没有倒扣分，不确定大题不要涂掉。考试结束前几分钟，切记不要草率地把怀疑做错的大题的解答过程从答卷上涂掉，此时如果还有题目没有做，那么直接把你的分析过程写在答卷上。

　　5.数学：“522原则”做送分题。坚持“522原则”。把眼睛多盯在选择题的前5个，填空题的前2到3个，解答题的前2个。这些题都是送分的题，不会很难。不管大题小题先抢会做的题，再做有一定解题思路的题，然后拼感觉困难的题，最后再抠实在不会的题。这样可以保证在有限的时间里多拿分。

　　6.抓紧时间。不为小题纠缠不休。选择题每个题平均控制在一分半钟以内。

抛物线习题与例题解析

1．已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点．若，则k= （ ）

A． B． C． D．

2．已知定点A（3，4），点P为抛物线y²=4x上一动点，点P到直线x=－1的距离为d，则|PA|+d的最小值为（ ）

A． B．2 C． D．学

3．已知双曲线与抛物线的一个交点为，为抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A． B． C． D．

4．设抛物线的焦点为,准线为，为抛物线上一点，且为垂足，如果直线的斜率为，则等于（ ）

A． B． C． D．

5．如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）

A. B. C. D.

6．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数（ ）

A． B． C． D．

7．抛物线的焦点为，为抛物线上一点，若的外接圆与抛物线的准线相切（为坐标原点），且外接圆的面积为9π，则（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

8．已知直线与抛物线交于两点，为抛物线的

焦点，若，则的值是（ ）

A. B. C. D.

9．抛物线：的焦点与双曲线：的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（ ）

A. B． C． D．

10．已知抛物线y²＝4x的准线与双曲线－y²＝1交于A、B两点，点F是抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率为(　　)

A． B． C．2 D．

11．【2015高考山东，理15】平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 .

12．已知抛物线的准线与双曲线交于、两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 ．

13．已知双曲线C₁与抛物线C₂：y²＝8x有相同的焦点F，它们在第一象限内的交点为M，若双曲线C₁的焦距为实轴长的2倍，则|MF|＝ ．

14．如图，正方形和正方形的边长分别为，原点为的中点，抛物线经过两点，则.

15．设点P是曲线y＝x²上的一个动点，曲线y＝x²在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线y＝x²的另一交点为Q，则PQ的最小值为 ．

16．如图,抛物线C₁:y²=4x和圆C₂:(x-1)²+y²=1,直线l经过C₁的焦点F,依次交C₁,C₂于A,B,C,D四点,则·的值是　　　.

17．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y²＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝ .

18．直线与抛物线:交于两点，点是抛物线准线上的一点，

记，其中为抛物线的顶点.

（1）当与平行时， ；

（2）给出下列命题：

①，不是等边三角形；

②且，使得与垂直；

③无论点在准线上如何运动，总成立.

其中，所有正确命题的序号是 .

19．已知平面内一动点（）到点的距离与点到轴的距离的差等于1，

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点的直线与轨迹相交于不同于坐标原点的两点，求面积的最小值．

20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线:,过点的直线与抛物线分别相交于两个不同的点．

（1）以AB为直径的圆是否过定点，若是请求出该点坐标。若不是，请说明理由

（2）过两点分别作抛物线的切线，设它们相交于点,求的取值范围

21．（本小题满分12分）如图，抛物线：与椭圆：在第一象限的交点为，为坐标原点，为椭圆的右顶点，的面积为．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）过点作直线交于、两点，射线、分别交于、两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

22．（本小题满分12分）在直角坐标系中，曲线C：y=与直线（＞0）交与M,N两点，

（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.

23．（本小题满分14分）已知椭圆，其中为左、右焦点，O为坐标原点.直线l与椭圆交于两个不同点.当直线l过椭圆C右焦点F₂且倾斜角为时，原点O到直线l的距离为.又椭圆上的点到焦点F₂的最近距离为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）以OP，OQ为邻边做平行四边形OQNP，当平行四边形OQNP面积为时，求平行四边形OQNP的对角线之积的最大值；

（3）若抛物线为焦点，在抛物线C₂上任取一点S（S不是原点O），以OS为直径作圆，交抛物线C₂于另一点R，求该圆面积最小时点S的坐标.

24．（本小题满分14分）已知抛物线：的焦点为，点是直线与抛物

线在第一象限的交点，且.

（1）求抛物线的方程；

（2）设直线与抛物线有唯一公共点，且直线与抛物线的准线交于点,试探究，在

坐标平面内是否存在点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，

说明理由.

参考答案

1．D

【解析】

试题分析：抛物线的准线为,设,

由抛物线的定义可知,．

将代入消去并整理可得．

由韦达定理可得．

解得．, ,所以解得．故D正确．

考点：1抛物线的定义;2直线与抛物线的位置关系问题．

2．A

【解析】

试题分析：定点A（3，4）在抛物线y²=4x外部，抛物线y²=4x焦点为F（1，0），则,选A．

考点：抛物线定义

3．C

【解析】

试题分析：设，根据抛物线的焦半径公式：，所以，，代入双曲线的方程，，解得：，所以，双曲线方程是，渐近线方程是

考点：1．双曲线方程和性质；2．抛物线的定义．

名师点睛：对应抛物线和两个圆锥曲线相交的问题，多数从交点所满足的抛物线的定义入手，得到交点的坐标，然后代入另一个圆锥曲线，解决参数的问题．

4．B

【解析】

试题分析：∵抛物线方程为，∴焦点，准线方程为，

∵直线的斜率为，直线的方程为，当时，，由可得点坐标为为垂足，∴点纵坐标为4，代入抛物线方程，得点坐标为，

考点：抛物线的定义

5．A.

【解析】

，故选A.

考点：抛物线的标准方程及其性质

6．A

【解析】

试题分析：根据题意，抛物线上一点M（1，m）到其焦点的距离为5，则，解得

p=8；即抛物线的方程为，把M（1，m）代入，可得m=4，即M的坐标为（1，4），双曲线的左顶点为A，则a＞0，且A的坐标为，渐近线方程为，因为双曲线的一条渐近线与

直线AM平行，所以，解得，故选A

考点：本题考查抛物线的定义，双曲线的几何性质

点评：解决本题的关键是掌握抛物线的定义，焦半径公式，以及双曲线的几何性质

7．B

【解析】

试题分析：设的外接圆圆心为，且半径为3，由已知得点到抛物线准线的距离等于，故点在抛物线上，且点的横坐标为，由抛物线定义得，，所以

考点：抛物线的标准方程和定义.

8．D

【解析】

试题分析：∵直线y=k（x-2）（k＞0）恒过定点（2，0）即为抛物线y²=8x的焦点F过A，B两点分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，再过B作AC的垂线，垂足为E，设|BF|=m，

∵|FA|=2|FB|，∴|AF|=2m

∴AC=AF=2m，|BD|=|BF|=m

如图，在直角三角形ABE中，AE=AC-BD=2m-m=m，AB=3m，

∴cos∠BAE=

∴直线AB的斜率为：k=tan∠BAE=2,

故选 D.

考点：直线与圆锥曲线的关系.

9．B

【解析】

试题分析：经过第一象限的双曲线的渐近线为，抛物线的焦点为,双曲线的右焦点为，设M（，），则，所以曲线在M点的切线斜率为，由题知=，所以=，因为三点，，共线，所以，即，故选B.

考点：双曲线的性质，抛物线的性质，导数的几何意义，三点共线的充要条件，两直线平行的充要条件

10．D

【解析】抛物线y²＝4x的焦点为(1,0)，准线方程为x＝－1，设直线x＝－1与x轴的交点为C，则|FC|＝2．因为△FAB为直角三角形，所以根据对称性可知，|AC|＝|FC|＝2，则A点的坐标为(－1,2)，代入双曲线方程得－4＝1，所以a²＝，c²＝＋1＝，e²＝＝6，所以离心率e＝，选D．

11．

【解析】设所在的直线方程为,则所在的直线方程为,

解方程组得： ，所以点的坐标为,

抛物线的焦点的坐标为: .因为是的垂心，所以,

所以， .

所以， .

考点：1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质.

12．.

【解析】

试题分析：抛物线焦点，由题意，且并被轴平分，所以点在双曲线上，得，即，

即，所以，

，故.

考点：抛物线；双曲线.

13．5

【解析】易知抛物线的焦点为(2,0)，设双曲线为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝2,2c＝4a．则a＝1，b²＝c²－a²＝3，双曲线C₁的方程为x²－＝1．与y²＝8x联立可解得x＝3，或x＝－(舍去)．所以x_M＝3．结合抛物线的定义可得|MF|＝x_M＋2＝5．

14．

【解析】试题分析：由题可得,因为在抛物线上,

所以,故填.

考点：抛物线

15．

【解析】设P(x₀，x₀²)，又y′＝2x，则直线PQ的方程为y＝－＋＋x₀².代入y＝x²得x²＋－－x₀²＝0，

即(x－x₀)＝0，所以点Q的坐标为.从而PQ²＝²＋²，令t＝4x₀²，则PQ²＝f(t)＝t＋＋＋3(t>0)，则f′(t)＝，即f(t)在(0,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，故当t＝2时，PQ有最小值.

16．1

【解析】由于抛物线C₁的焦点F也是圆C₂的圆心(1,0),

则||=||-1=x_A,

||=||-1=x_D,

∴||·||=x_A·x_D==1,

∴·=||||=1.

17．2

【解析】e＝2， ²＝＝1＋²＝4，∴＝，

双曲线的渐近线方程为y＝±x，

∴|AB|＝2·tan 60°，

又S_△AOB＝，即··2·tan 60°＝，

∴＝1，则p＝2.

18．;①②③

【解析】

试题分析：由抛物线方程知，焦点，准线为。

（1）当与平行时，因为有公共点，所以三点共线。因为点在准线上，点在直线上，所以关于点对称，所以与是相反向量，所以,此时。（2）将代入得，所以，假设能是等边三角形，则此时点只能是准线与轴交点。但此时。所以假设不成立，即不可能是等边三角形，故①正确；不妨设，设则，，当与垂直时，，解得，即。因为，所以且，解得。故②正确；因为，且，所以。故③正确。综上可得正确的序号是①②③。

考点：抛物线方程及基本性质，平面向量的平行、垂直及向量坐标的运算法则。

19．（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）根据平面内一动点到点的距离与点到y轴的距离的差等于1，可得当时，点到的距离等于点到直线的距离，所以动点的轨迹为抛物线；

（2）过点的直线的方程为，代入，可得，利用韦达定理，结合面积，即可求面积的最小值．

试题解析：（1）∵平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1，

∴当时，点到的距离等于点到直线的距离，

∴动点的轨迹为抛物线，方程为（）；

∴动点的轨迹C的方程为（）；

（2）设点坐标为，点坐标为，

过点的直线的方程为，代入，可得，

，∴面积，

∴时，面积的最小值为2．

考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．

20．（1）过定点（0,0）；（2）；

【解析】

试题分析：（1）由通径可得，于是抛物线方程为，联立方程，根据韦达定理得出两根的关系，从而求得，即过定点（0,0）；（2）利用导数的几何意义得出斜率，由韦达定理可得，即；

试题解析：（1）依题意知，抛物线的方程为：x²=y，当AB与x轴平行时，以AB为直径的圆方程为：x²+（y-1）²=1由此猜测圆过定点（0,0）证明如下，直线AB的斜率显然存在，设AB方程为，将其与抛物线方程联立消y得，设，则有，又因为

，化简得：故，所以以AB为直径的圆过定点（0,0）；

由得，故因此，同理,，

联立解得：，，故；

考点：①抛物线的性质②导数的几何意义

21．（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由的面积可得B点纵坐标，代入椭圆方程得，再代入抛物线方程得（Ⅱ）面积比的转化是解决问题的关键，本题两个三角形有一个共同角，故利用面积公式：，即，再利用三点OEC共线及三点OFD共线,从而将面积比化为,这样就转化为直线与椭圆及直线与抛物线的位置关系了，利用韦达定理可解决问题．

试题解析：解: （Ⅰ）因为的面积为,所以，

代入椭圆方程得，

抛物线的方程是：

（Ⅱ） 存在直线:符合条件

解：显然直线不垂直于轴，故直线的方程可设为，

与联立得．

设,则

．

由直线OC的斜率为,故直线的方程为，与联立得

，同理，

所以

可得

要使，只需

即,解得，

所以存在直线:符合条件

考点：直线与椭圆位置关系, 直线与抛物线位置关系,

22．（Ⅰ）或（Ⅱ）存在

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求出M,N的坐标，再利用导数求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线C的方程整理成关于的一元二次方程，设出M,N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0,即可求出关系，从而找出适合条件的P点坐标.

试题解析：（Ⅰ）由题设可得，，或，.

∵，故在=处的到数值为，C在处的切线方程为

，即.

故在=-处的到数值为-，C在处的切线方程为

，即.

故所求切线方程为或.

（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：

设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为.

将代入C得方程整理得.

∴.

∴==.

当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，

故∠OPM=∠OPN，所以符合题意.

考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力

23．（1）；（2）5；（3）（16，±8）.

【解析】

试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、基本不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，设出点斜式的直线的方程，再结合椭圆的离心率解出a，b，c，从而写出椭圆的方程；第二问，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，当斜率不存在时，可数形结合得到结论，当斜率存在时需直线与椭圆方程联立，消参，利用韦达定理两点间距离公式，代入到面积公式中，找出k与m的关系，再计算，利用基本不等式求最值；第三问，数形结合得，利用向量的数量积转化为坐标的关系，利用基本不等式求S点纵坐标的取值范围，代入到中，利用配方法求函数的最值.

试题解析：（1）直线的倾斜角为，，直线的方程，

，，为椭圆上任一点，

==≥，，

当时，，，，

椭圆的方程.. 5分

（2）当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，则，

由在椭圆上，则，而，则，

知=.

当直线的斜率存在时，设直线为，代入可得，

即，，即，

，

，

，，

化为，，

，

得到，，则，满足，

由前知，，

设M是ON与PQ的交点，则

，

，

，当且仅当，

即时等号成立，

综上可知的最大值为.

=2的最大值为5. 10分

（3）因为以为直径的圆与相交于点，所以∠ORS = 90°，即，

设S （，），R（，），＝（-， -），=（，），

所以，

因为，，化简得，

所以，

当且仅当即＝16，y₂＝±4时等号成立.

圆的直径|OS|=，

因为≥64，所以当＝64即=±8时，，

所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为（16，±8） 14分

考点：椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、基本不等式.

24．（1）；（2）在坐标平面内存在点，使得以为直径的圆恒过点，其坐标为.

【解析】

试题分析：（1）由已知设点的坐标，由抛物线的定义得，再联立，解得的值，即可得抛物线的方程；（2）设点，，由已知得直线与抛物线相切，利用导数可得直线的方程，令可得点的坐标，利用，即可得的值.

试题解析：（1）解法1： ∵点是直线与抛物线在第一象限的交点，

∴设点 1分

∵抛物线C的准线为，由结合抛物线的定义得① 2分

又点在抛物线C上，∴ ② 3分

由①②联立解得，∴所求抛物线的方程式为 5分

[解法2：∵点是直线与抛物线在第一象限的交点，

∴设点 1分

∵抛物线C的焦点为，由得

即① 2分

又点在抛物线C上，∴ ② 3分

由①②联立解得，∴所求抛物线的方程式为 -5分]

（2）解法1：由抛物线C关于轴对称可知，若存在点，使得以为直径的圆恒过点，

则点必在轴上，设 6分

又设点，由直线与抛物线有唯一公共点知，直线与抛物线相切，

由得，∴ 7分

∴直线的方程为 8分

令得，∴点的坐标为， 9分

10分

∵点在以为直径的圆上，

∴ 12分

要使方程对恒成立，必须有解得 13分

∴在坐标平面内存在点，使得以为直径的圆恒过点，其坐标为 14分

解法2：设点，由与抛物线有唯一公共点知，直线与抛物线相切，由得，∴ 6分

∴直线的方程为 7分

令得，∴点的坐标为 8分

∴以为直径的圆方程为：③ 10分

分别令和，由点在抛物线上得

将的值分别代入③得：④

⑤

④⑤联立解得或 12分

∴在坐标平面内若存在点，使得以为直径的圆恒过点，则点必为或

将的坐标代入③式得，左边==右边

将的坐标代入③式得，左边=不恒等于0 13分

∴在坐标平面内是存在点，使得以为直径的圆恒过点，点坐标为为 14分

考点：1、抛物线的方程；2、抛物线的定义；3、直线与圆锥曲线的位置关系；4、导数的几何意义.