高数是指高级数学，也称为微积分。它是一门基础学科，主要研究函数、极限、导数和积分等概念与相关理论。它在数学中起着举足轻重的作用，被广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域。下面是小编整理的高数基础知识点总结归纳大全，拉至文末查看完整的领取方式可自愿下载打印！
高等数学函数与极限知识点总结
高等数学是数学的重要分支之一，其中包括了函数与极限的内容。函数与极限是高等数学的基础，也是数学建模和应用的重要工具。本文将从函数的定义、性质和分类、极限的定义和性质等方面进行总结。
1. 函数的定义
函数是一种映射关系，它将一个集合中的每个元素唯一地对应到另一个集合中的元素。函数可以用数学表达式、图像或图表等形式来表示。在高等数学中，常见的函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2. 函数的性质和分类
函数具有很多性质，其中包括定义域、值域、奇偶性、周期性等。定义域是函数自变量的取值范围，而值域是函数因变量的取值范围。函数的奇偶性是指函数图像关于y轴对称或关于原点对称的性质。周期性是指函数在一定范围内的取值具有重复性。
根据函数的性质和表达式的特点，可以将函数分为多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数等不同类型。多项式函数是由常数和自变量的幂组成的函数，有理函数是两个多项式函数的比值，指数函数是以常数e为底的幂函数，对数函数是指数函数的反函数，三角函数是以角度或弧度为自变量的函数。
3. 极限的定义和性质
极限是函数与自变量趋于某一值时函数取值的稳定性。当自变量无限接近某一值时，函数的取值也趋于某一值，这个值就是函数的极限。极限可以用数列、函数或图像的趋势来描述。
函数的极限有以下性质：
- 唯一性：函数的极限只有一个唯一值。
- 保序性：如果函数在某一点左侧的极限小于右侧的极限，则函数在该点不存在极限。
- 有界性：如果函数在某一点的左侧和右侧都有极限，则函数在该点存在极限。
- 代数运算性质：如果函数的极限存在，则函数的和、差、积、商的极限也存在。
4. 极限的计算方法
极限的计算方法有很多种，常见的方法包括代入法、夹逼法、无穷小量法、洛必达法则等。
- 代入法是将自变量的值代入函数中，计算函数在该点的取值。
- 夹逼法是通过找到两个函数，一个上面界和一个下面界，夹逼自变量的值，确定函数的极限。
- 无穷小量法是通过将函数化简为一个无穷小量的形式，确定函数的极限。
- 洛必达法则是通过求函数的导数，然后计算导数的极限，确定函数的极限。
5. 函数与极限的应用
函数与极限在数学建模和应用中有广泛的应用。在物理学中，函数与极限可以描述物体的运动、力学和电磁学等现象。在经济学中，函数与极限可以描述市场的供求关系、价格变化和收益等问题。在工程学中，函数与极限可以描述电路的电流、电压和功率等特性。
函数与极限是高等数学的重要内容，它们具有丰富的性质和应用。函数的定义、性质和分类可以帮助我们更好地理解和分析各种数学问题。极限的定义和性质可以帮助我们确定函数在某一点的稳定性和趋势。函数与极限的应用可以帮助我们解决实际问题和进行数学建模。因此，掌握函数与极限的知识对于高等数学的学习和应用具有重要意义。
一、导数与微分概念
1．导数的定义
设函数
在点
的某领域内有定义，自变量
在处有增量
，相应地函数增量
。如果极限
存在，则称此极限值为函数
在处的导数（也称微商），记作
，或
，
，
等，并称函数在点处可导。如果上面的极限不存在，则称函数在点处不可导。
导数定义的另一等价形式，令
，
，则
我们也引进单侧导数概念。
右导数：
左导数：
则有
在点处可导
在点处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义
如果函数在点处导数存在，则在几何上表示曲线在点
处的切线的斜率。
切线方程：
法线方程：
设物体作直线运动时路程
与时间
的函数关系为
，如果
存在，则表示物体在时刻
时的瞬时速度。
3．函数的可导性与连续性之间的关系
如果函数在点处可导，则在点处一定连续，反之不然，即函数在点处连续，却不一定在点处可导。例如，
，在
处连续，却不可导。
4．微分的定义
设函数在点处有增量时，如果函数的增量有下面的表达式
其中
为为无关，
是
时比高阶的无穷小，则称在处可微，并把
中的主要线性部分
称为在处的微分，记以
或
。
我们定义自变量的微分
就是。
5．微分的几何意义
是曲线在点处相应于自变量增量的纵坐标
的增量，微分是曲线在点
处切线的纵坐标相应的增量（见图）。
6．可微与可导的关系
在处可微在处可导。
且
一般地，则
所以导数
也称为微商，就是微分之商的含义。
7．高阶导数的概念
如果函数的导数
在点处仍是可导的，则把在点处的导数称为在点处的二阶导数，记以
，或
，或
等，也称在点处二阶可导。
如果的
阶导数的导数存在，称为的
阶导数，记以
，
，
等，这时也称是阶可导。
二、导数与微分计算
1．导数与微分表（略）
2．导数与微分的运算法则
（1）四则运算求导和微分公式
（2）反函数求导公式
设
的反函数为
，则
（3）复合函数求导和微分公式
设
，则
（4）隐函数求导法则
每一次对求导，把
看作中间变量，然后解出
例：
，确定
，求 解：两边每一项对求导，把看作中间变量
然后把解出来
（5）对数求导法
取对数后，用隐函数求导法则
求导得
解出
解出 
解出 （6）用参数表示函数的求导公式
设
则
第九章 多元函数微分学
内容复习
一、基本概念
1、知道：多元函数的一些基本概念（
维空间，元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分.
2、重要定理
（1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系
偏导数连续
可微
（2）（二元函数）极值的必要、充分条件
二、基本计算
（一）偏导数的计算
1、偏导数值的计算（计算
）
（1）先代后求法 ＝
（2）先求后代法（＝
）
（3）定义法（＝
）（分段函数在分段点处的偏导数）
2、偏导函数的计算（计算
）
（1）简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导
（2）复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式）
（3）隐函数求导
求方程
确定的隐函数
的一阶导数
注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。
3、高阶导数的计算
注意记号表示，以及求导顺序
（二）全微分的计算
1、叠加原理
， 
——
勿丢
2、一阶全微分形式不变性
对
是自变量或是中间变量均成立。
三、偏导数的应用
优化方面——多元函数的极值和最值
1、无条件极值——利用必要条件求驻点，利用充分条件判断是否为极值点
2、条件极值——Lagrange乘数法
求
（有几个约束条件，引进相应个数Lagrange乘子）
3、最值——比较区域内部驻点处函数值与区域边界上最值的大小，从而确定最值
1、敛散性判断（单调有界，必有极限；从上往下，具有优先顺序性）：
1、形如
的几何级数（等比级数）：当
时收敛，当
时发散。
2、形如
的P级数：当
时收敛，当
时发散。
3、
级数发散； 级数收敛
4、比值判别法（适用于多个因式相乘除）：若正项级数
，满足条件
：
✍当
时，级数收敛；
✍当
时，级数发散（或
）；
✍当
时，无法判断。
5、根值判别法（适用于含有因式的
次幂）：若正项级数，满足条件
：
✍当
时，级数收敛；
✍当
时，级数发散（或
）；
✍当
时，无法判断。
注：当
时，方法失灵。
6、比较判别法：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散。（通过不等式的放缩）
推论：若与
均为正项级数，且
（
是已知敛散性的级数)
✍若
，则级数与有相同的敛散性；
✍若
且级数收敛，则级数收敛；
✍若
且级数发散，则级数发散。
7、定义判断：若
收敛，若
无极限
发散。
8、判断交错级数的敛散性（莱布尼茨定理）：
满足
，
收敛，其和
。
9、绝对收敛：级数加上绝对值后才收敛。
条件收敛：级数本身收敛，加上绝对值后发散。
2、无穷级数的基本性质：
1、两个都收敛的无穷级数，其和可加减。
2、收敛的无穷级数，其和为
，则
，其和为
（
）
（级数的每一项乘以不为0的常数后，敛散性不变）
3、✍级数收敛，加括号后同样收敛，和不变。
（逆否命题：加括号后发散，则原级数发散）
✍加括号后级数收敛，原级数未必收敛。
一、
（系数不为0的情况）
二、重要公式（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
三、下列常用等价无穷小关系（
）
四、导数的四则运算法则
五、基本导数公式
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
⑼
⑽
⑾
⑿
⒀
⒁
⒂
⒃
⒄
⒅
六、高阶导数的运算法则
（1）
（2）
（3）
（4）
七、基本初等函数的n阶导数公式
（1）
（2）
(3)
(4)
(5) 
(6)
(7) 
八、微分公式与微分运算法则
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
⑼
⑽
⑾
⑿
⒀
⒁
⒂
⒃
九、微分运算法则
⑴
⑵
⑶
⑷
十、基本积分公式
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
⑼
⑽
⑾
十一、下列常用凑微分公式
| 积分型 | 换元公式 |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
十二、补充下面几个积分公式
十三、分部积分法公式
⑴形如
，令
，
形如
令，
形如
令，
⑵形如
，令，
形如
，令，⑶形如
，
令
均可。
十四、第二换元积分法中的三角换元公式
(1)
(2) 
(3)
【特殊角的三角函数值】
（1）
（2）
（3）
（4）
） （5）
（1）
（2）
（3）
（4）
） （5）
（1）
（2）
（3）
（4）
不存在 （5）
（1）
不存在 （2）
（3）
（4）
（5）
不存在
十五、三角函数公式
1.两角和公式
2.二倍角公式
3.半角公式
4.和差化积公式
5.积化和差公式
6.万能公式
7.平方关系
8.倒数关系
9.商数关系
十六、几种常见的微分方程
1.可分离变量的微分方程：
， 
2.齐次微分方程：
3.一阶线性非齐次微分方程：
解为：
