对数与对数函数（解析版）对数与对数函数讲解教程

对数的一个重要性质就是能够将乘法运算转化为加法运算，将除法运算转化为减法运算。这使得复杂的乘除运算可以更简洁地表达。对数函数能够帮助我们描述指数增长或衰减的关系。例如，在金融领域中，利率的计算常常涉及到对数函数。下面是小编整理的对数与对数函数（解析版），仅供大家参考。

文章目录

对数与对数函数（解析版）

对数与对数函数训练题及答案详解

对数与对数函数高考真题

对数与对数函数答题技巧总结

对数与对数函数常考公式大全

对数与对数函数（解析版）

对数与对数函数

1.对数

（1）对数的定义：

如果a^b=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作log_aN=b.

（2）指数式与对数式的关系：a^b=Nlog_aN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.

（3）对数运算性质:

①log_a（MN）=log_aM+log_aN.

②log_a=log_aM－log_aN.

③log_aMⁿ=nlog_aM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）

④对数换底公式：log_bN=（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.

2.对数函数

（1）对数函数的定义

函数y=log_ax（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.

注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义: log_aa=1；如果a=1或=0那么log_aa就可以等于一切实数（比如log₁ 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log_a M^n = nlog_a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log_(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log_(-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象

底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.

（3）对数函数的性质:

①定义域：（0，+∞）.

②值域：R.

③过点（1，0），即当x=1时，y=0.

④当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数.

基础例题

题型1（对数的计算）

1．求下列各式的值．

（1）＋2－－； （2）log₂×log₃×log₅.

练习题

1．计算：lg－lg＋－log₈9·log₂₇8；

＋2－log₅－log₅14； ×log₃×log₅.

4. ． 5. 7. 例2．已知实数x、y、z满足3^x＝4^y＝6^z＞1.

(1)求证：＋＝；

(2)试比较3x、4y、6z的大小．

练习题．已知log₁₈9＝a，18^b＝5，用a、b表示log₃₆45.

题型二：（对数函数定义域值域问题）

例1．已知函数的定义域为集合，关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围．

2．设函数定义域为．

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．

练习题1．已知函数

（1）若的定义域是,求实数的取值范围及的值域；

（2）若的值域是，求实数的取值范围及的定义域

2 求函数y=2lg（x－2）－lg（x－3）的最小值.

题型三（奇偶性及其单调性）

例题1．已知定义域为R的函数f(x)为奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2^x－1.

(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式；

(2)求f(24)的值．

2. 已知f（x）=log［3－（x－1）²］，求f（x）的值域及单调区间.

3.已知y=log_a（3－ax）在［0，2］上是x的减函数，求a的取值范围.

4．已知函数.

（Ⅰ）求函数的定义域；

（Ⅱ）判断函数的奇偶性；

（Ⅲ）若，求的取值范围.

练习题1．已知函数f(x)＝log_a(x＋1)－log_a(1－x)(a＞0，a≠1)

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；

(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围

2．函数是定义在上的偶函数，，当时，.

（1）求函数的解析式；

（2）解不等式；

3．已知是定义在上的偶函数，且时，．

（Ⅰ）求，；

（Ⅱ）求函数的表达式；

（Ⅲ）若，求的取值范围．

题型4（函数图像问题）

例题1.函数f（x）=|log₂x|的图象是

2.求函数y＝log₂｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.

3．设f(x)＝|lg x|，a，b为实数，且0＜a＜b.

(1)求方程f(x)＝1的解；

(2)若a，b满足f(a)＝f(b)＝2f，

求证：a·b＝1，＞1.

练习题：

1．已知且，函数，，记

（1）求函数的定义域及其零点；

（2）若关于的方程在区间内仅有一解，求实数的取值范围.

2．已知函数f(x)＝log₄(4^x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．

(1)求k的值；

(2)设g(x)＝log₄，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

3.函数y＝log₂｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于

题型五：函数方程

1方程lgx+lg（x+3）=1的解x= .

2.已知函数f（x）=则f（2+log₂3）的值为

4．已知函数为常数）.

（Ⅰ）求函数的定义域；

（Ⅱ）若，,求函数的值域；

（Ⅲ）若函数的图像恒在直线的上方，求实数的取值范围.

5．已知函数（Ⅰ）令，求关于的函数关系式及的取值范围；

（Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的的值.

6.设函数f（x）=lg（1－x），g（x）=lg（1+x），在f（x）和

g（x）的公共定义域内比较|f（x）|与|g（x）|的大小.

对数与对数函数训练题及答案详解

一、单选题

1. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为，已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为A. B. C. D. 2. 已知，，，则下列判断正确的是(    )

A. B. C. D. 3.    A. B. C. D. 4. 若对数式有意义，则实数a的取值范围为(    )

A. B. C. D. 5. 已知a，b为实数，则“”是“”的  (    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 20xx年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭除推进剂外的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若A型火箭的喷流相对速度为，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为(    )

A. B. C. D. 7. 函数的值域是(    )

A. B. C. D. 8. 设函数的定义域是R时，a的取值范围为集合M；它的值域是R时，a的取值范围为集合N，则下列的表达式中正确的是(    )

A. B. C. D. 9. 设a，b，c均为正数，且，，，则  (    )

A. B. C. D. 10. 已知实数a，b，c满足，则函数的图象可以是(    )

A. B.

C. D.

11. 若，则  (    )

A. B. C. D. 12. 已知，设，，，则(    )

A. B. C. D. 13. 设，，，则(    )

A. B. C. D. 二、多选题

14. 关于函数，下列说法正确的是  (    )

A. 定义域为 B. 最大值为2

C. 最小值为 D. 单调递增区间为15. 给出以下四个结论，其中所有正确结论的序号是(    )

A. 若函数的定义域为，则函数的定义域是；

B. 函数其中，且的图象过定点；

C. 当时，幂函数的图象是一条直线；

D. 若，则a的取值范围是

16. 已知，函数的值域是，则下列结论正确的是  (    )

A. 当时， B. 当时，C. 当时， D. 当时，三、填空题

17. 若，则

18. 设a，b，c均为正数，且，，，则a，b，c按从小到大的顺序排列为 .

19. 已知函数，，，则的最小值等于 .

四、解答题

20. 已知函数，函数

求函数的值域；

若不等式对任意实数恒成立，试求实数x的取值范围．

答案和解析

1.【答案】A 

解：设太阳的星等是，天狼星的星等是，

由题意可得：，

，则故选：  

2.【答案】C 

解：，

即故选  

3.【答案】B 

解：原式故选  

4.【答案】D 

解：由已知，得，

解得且，

所以实数a的取值范围为故选  

5.【答案】B 

6.解：.

故“”是“”的必要不充分条件．

故选  

6.【答案】C 

解：因为A型火箭的最大速度，

故选  

7.【答案】C 

解：由题意：函数，

又，则：所以得原函数的值域为故选  

8.【答案】C 

解：由函数的定义域是R，

可得恒成立，且，求得且，

故当函数的值域为R时，，再结合且，

求得，故故有，

故选  

9.【答案】D 

解：因为，所以，可得因为，所以，可得因为，所以，可得所以，

故选  

10.【答案】D 

解：由，

得且，

两式相加得，

即，

得，

则函数，

即函数的定义域为，排除A，B，

且在定义域上函数为减函数，排除C，

故选：  

11.【答案】B 

解：解法一：令，因为在上单调递增，在上单调递增，

所以在上单调递增.又，

所以，所以故选B。

解法二：由，取，得令，

则在上单调递增，且，，所以，在上存在唯一的零点，所以，故，都不成立，排除A，取，得令，则在上单调递增，且，，所以，在上存在唯一的零点，所以，故不成立，排除故选  

12.【答案】A 

解： ，， ，

 ；

； 

综上所述， 即故选 13.【答案】B 

解：，，

，

令，，

令，则，

，

，

，，

在上单调递增，

，

，即，，

取，则，

即，

同理令，，

再令，则，

，

，

，，

在上单调递减，

，

，即，

同样的，取，则，

即，

故选：  

14.【答案】ACD 

解：令，得，即函数的定义域为，故A正确；

，故B错误，C正确；

令，则其在上单调递增，在上单调递减，

又在上单调递减，

由复合函数的单调性得的单调递增区间为，故D正确．

故选  

15.【答案】ABD 

解：

对A，函数的定义域为，则，，

故函数的定义域是，故A正确；

对B，将定点代入函数，满足，故B也正确；

对C，当时，幂函数，不等于，其图象是一条直线，去掉一点，故C错误；

对D，，若，则，不满足题意；若，则，应满足，所以a的取值范围是，故D正确.

综上所述，故选择  

16.【答案】CD 

解：当时，，

此时，单调递减，

当时，，

此时，单调递增，

所以在单调递增，在单调递减，

所以当时，取最大值为1，

绘出函数与函数的图象，如图：

对于A：当时，，

由函数图象可知：要使的值域是，则，故A错误，

对于B，C：当时，，此时，此时，

因为的值域为，则时，必有解，即，解得，由图知，故C正确，B错误，

对于D：当时，，在上单调递增，

此时的最小值为，的最大值为，要使的值域为，由图知 ，故D正确。

故选：  

17.【答案】0 

解：，

，

即，

在上单调递增，

，

故答案为：  

18.【答案】 

解：如下图所示点A是函数与的交点，

点B是函数与的交点，

点C是函数与的交点，

易知点A，B，C的横坐标大小为，

，

故答案为：  

19.【答案】 

作出函数的图象如图，若，，

则，，

则，，

，

，

即，

解得，

，

当且仅当，即时取等号，

故的最小值等于，

故答案为

20.【答案】解：由题意得

，

即的值域为若不等式对任意实数恒成立，

即不等式对任意实数恒成立

得，

又，

设，则，

，

当时，

，即，

整理得，即，

解得，

实数x的取值范围为：

对数与对数函数高考真题

　　新人教B版

　　1.(2011•广东高州市大井中学模拟)函数y＝ln x＋1 －x2－3x＋4的定义域为(　　)

　　A．(－4，－1)　　 B．(－4,1)

　　C．(－1,1)D．(－1,1]

　　[答案]　C

　　[解析]　要使函数有意义，须x＋1>0－x2－3x＋4>0，

　　∴x>－1－40时，y＝log2x为增函数，排除D，选C.

　　3．(2011•浙江省“百校联盟”交流联考)已知00x>01－x>x解得00时，f(x)＝lgx，则f(f(1100))的值等于(　　)

　　B．－1lg2

　　C．lg2D．－lg2

　　[答案]　D

　　[解析]　当x0，则f(－x)＝lg(－x)．

　　又函数为奇函数，f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－lg(－x)．

　　∴f(1100)＝lg1100＝－2，f(f(1100))＝f(－2)＝－lg2.

　　5．(文)(2011•天津文，5)已知a＝，b＝，c＝，则(　　)

　　A．a>b>cB．a>c>b

　　C．b>a> cD．c>a>b

　　[答案]　B

　　[解析]　∵a＝>1，c＝c.

　　又∵c＝>＝b.∴a>c>b.

　　(理)(2011•重庆文，6)设a＝log13 12，b＝log13 23，c＝log334，则a、b、c的大小关系是(　　)

　　A．ab且a>0，b>0，又c0得x>3或xa>1；③a＝b；④00 13 x，x≤0，那么不等式f(x)≥1的解集为 ．

　　[答案]　{x|x≤0或x≥3}

　　[解析]　f(x)≥1化为x>0log3x≥1或x≤0 13 x≥1

　　∴x≥3或x≤0.

　　(理)(2011•浙江省宁波市“十校联考”)设a>0，a≠1，函数f(x)＝ax2＋x＋1有最大值，则不等式loga(x－1)>0的解集为 ．

　　[答案]　{x|10化为01，且f(22)＝1，则f[f(2)]＝ .

　　[答案]　6

　　[解析]　∵f(22)＝loga[(22)2－1]＝loga7＝1，

　　∴a＝7 .

　　又f(2)＝log730，且a≠1)．

　　(1)求函数f(x)的定义域和值域；

　　(2)若函数f(x)有最小值为－2，求a的值．

　　[解析]　(1)由1－x>0x＋3>0得－30，则01时，y≤loga4，值域为{y|y≤log a4}，

　　当00且a≠1)．

　　(1)证明函数f(x)的图象在y轴的一侧；

　　(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，得ax>1.

　　当a>1时，解得x>0，此时f(x)的图象在y轴右侧；

　　当00且a≠1的任意实数a，f(x)的图象总在y轴一侧．

　　(2)①当a>1时，x>0，由00.

　　直线AB的斜率kAB＝f x2 －f x1 x2－x1>0.

　　②当0ax2>1，f(x2)－f(x1)>0.

　　同上可得kAB>0.

　　11.(2011•安徽省淮南市模拟)若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝(12)lnx，c＝elnx，则(　　)　　　　

　　

　　A．c>b>aB．b>a>c

　　C．a>b>cD．b>c>a

　　[答案]　D

　　[解析]　∵x∈(e－1,1)，∴a＝lnx∈(－1,0)；

　　c＝elnx＝x∈(1e，1)；

　　b＝(12)lnx∈(1,2)．

　　∴a0 2x　 x≤0 ，若f(a)＝12，则实数a等于(　　)

　　A．－1

　　C．－1或2D．1或－2

　　[答案]　C

　　[解析]　 当a>0时，log2a＝12，所以a＝2，当a≤0时，2a＝12，所以a＝－1.

　　13．(2011•丹阳一模)已知函数f(x)＝3x＋1，x≤0log2x，x>0，则使函数f(x)的图象位于直线y＝1上方的x的取值范围是 ．

　　[答案]　{x|－12}

　　[解析]　由y>1得，x≤03x＋1>1或x>0log2x>1，，

　　∴－12.

　　14．(2011•绍兴一模)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(lgx)＝f(1)，则x的值等于 ．

　　[答案]　10或110

　　[解析]　∵f(x)在[0，＋∞)上是单调函数，且为偶函数，又f(lgx)＝f(1)，∴lgx＝±1，∴x＝10或110.

　　15．(文)已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋2kx(k∈R)是偶函数．

　　(1)求k的值；

　　(2)若方程f(x)＝m有解，求m的取值范围．

　　[解析]　(1)由函数f(x)是偶函数可知，f(－x)＝f(x)，

　　∴log4(4x＋1)＋2kx＝log4(4－x＋1)－2kx，

　　即log44x＋14－x＋1＝－4kx，

　　∴log44x＝－4kx，

　　∴x＝－4kx，即(1＋4k)x＝0，

　　对一切x∈R恒成立，∴k＝－14.

　　(2)由m＝f(x)＝log4(4x＋1)－12x

　　＝log44x＋12x＝log4(2x＋12x)，

　　∵2x>0，∴2x＋12x≥2，∴m≥log42＝12.

　　故要使方程f(x)＝m有解，m的取值范围为[12，＋∞)．

　　(理)(2011•金华模拟)设集合A＝{x|2(log12 x)2－7log2x＋3≤0}，若当x∈A时，函数f(x)＝log2x2a •log2x4的最大值为2，求实数a的值．

　　[解析]　∵A＝{x|2(log2x)2－7log2x＋3≤0}

　　＝{x|12≤log2x≤3}＝{x|2≤x≤8}，

　　而f(x)＝(log2x－a)(log2x－2)＝(log2x)2－(a＋2)log2x＋2a，

　　令log2x＝t，∵2≤x≤8，∴12≤t≤3.

　　∴f(x)可转化为g(t)＝t2－(a＋2)t＋2a，其对称轴为直线t＝a＋22，

　　①当t＝a＋22≤74，即a≤32时，

　　[g(t)]max＝g(3)＝2⇒a＝1，符合题意；

　　②当t＝a＋22>74，即a>32时，

　　[g(t)]max＝g(12)＝2⇒a＝116，符合题意．

　　综上，a＝1，或a＝116.

　　16．(2011•马鞍山市二检)设函数f(x)＝(1＋x)2－2ln(1＋x)．

　　(1)若对任意的x∈[0,1]，不等式f(x)－m≤0都成立，求实数m的最小值；

　　(2)求函数g(x)＝f(x)－x2－x在区间[0,2]上的极值．

　　[解析]　(1)设f(x)在[0,1]的最大值为f(x)max，

　　依题意有f(x)max≤m，

　　∵f′(x)＝2(1＋x)－21＋x＝2x2＋4x1＋x，

　　当x∈[0,1]时，f ′(x)≥0，故f(x)在[0,1]为增函数，

　　f(x)max＝f(1)＝4－2ln2，于是m≥4－2ln2，

　　即实数m的最小值为4－2ln2.

　　(2)g(x)＝f(x)－x2－x＝1＋x－2ln(1＋x)，

　　g′(x)＝1－21＋x＝x－1x＋1.

　　当x>1时，g′(x)>0，当－1b>cB．a>c>b

　　C．c>a>bD．c>b>a

　　[答案]　B

　　[解析]　∵10.∴c>b，故选B.

　　2．已知0n>1，故应选A.

　　3．(2011•四川文，4)函数y＝(12)x＋1的图象关于直线y＝x对称的图象大致是(　　)

　　[答案]　A

　　[解析]　

　　解法一：作y＝(12)x的图象，然后向上平移1个单位，得y＝(12)x＋1的图象，再把图象关于y＝x对称即可．

　　解法二：令x＝0得y＝2，∴对称图象过点(2,0)，排除C、D；又令x＝－1得y＝3，∴对称图象过点(3 ，－1)，排除B，故选A.

　　4．函数f(x)＝|log12 x|的图象是(　　)

　　[答案]　A

　　[解析]　f(x)＝|log12 x|＝|log2x|

　　＝log2x　 x≥1 －log2x　 00}，排除B、D，f(x)≥0，排除C，故选A.

　　5．已知函数f(x)＝logm(x＋1)，且m>1，a>b>c>0，则f a a，f b b，f c c的大小关系是(　　)

　　 a a>f b b>f c c c c>f b b>f a a

　　 b b>f c c>f a a a a>f c c>f b b

　　[答案]　B

　　[解析]　本题考查数形结合思想，f x x可以转化成f(x)上的点与原点连线的斜率，

　　据函数y＝log2(x＋1)的图象，设A(a，f(a))，B(b，f(b))，C(c，f(c))，显然kOA0时，f(x)＝2012x＋log2012x，则方程f(x)＝0的实根的个数为(　　)

　　A．1　　B．2　　C．3　　D．5　　　　

　　

　　[答案]　C

　　[解析]　当x>0时，f(x)＝0即2012x＝－log2012x，在同一坐标系下分别画出函数f1(x)＝2012x，f2(x)＝－log2012x的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)＝0只有一个实根，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x0，∴x＝5.

　　8．(2011•上海交大附中月考)函数f(x)＝lg(x＋ax－6)(a∈R)的值域为R，则实数a的取值范围是 ．

　　[答案]　(－∞，9]

　　[解析]　①a≤0时，x＋ax－6能取遍一切正数，

　　∴f(x)的值域为R；

　　②a>0时，要使f(x)的值域为R，应使x＋ax－6可以取到所有正数，故x>0时，x＋ax－6的最小值2a－6≤0，∴0

对数与对数函数答题技巧总结

1.对数函数的定义：

一般地，函数 ( )叫做对数函数 .定义域是

2. 对数函数的性质为

	a>1	0
图\ 象
性质	定义域：（0，+∞）
	（值域：R
	过点（1，0），即当时，
	时 时	时 |时
	在（0，+∞）上是增函数	在（0，+∞）上是减函数

思考：函数与函数的定义域、值域之间有什么关系？

对数函数的图象与指数函数的图象关于 对称。

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一般的,函数y=a^x与y=log_ax (a>0且a≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线y=x对称

y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作y=f^-1(x) 如:f(x)=2^x,则f^-1(x)=log₂x,二者的定义域与值域对调,且图象关于直线y=x对称

函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x对称

专题应用练习

一、求下列函数的定义域

（1）； （2） ；

（3） （4）

？

(5) y=lg (6) y=

=log(5x-1)(7x-2)的定义域是

= 的定义域是

3.求函数的定义域

4.函数y=的定义域是　　　　　　　

5.函数y＝log ₂(32－4^x)的定义域是 　　　 ，值域是 　　　 　 .

6.函数的定义域

{

7.求函数的定义域和值域。

8.求下列函数的定义域、值域：

（1）； （2）； （3）（且）．

9.函数f（x）=ln（）定义域

10.设f(x)=lg,则f的定义域为

11.函数f(x)=的定义域为

12.函数f(x)=的定义域为 ；

`

13.函数f（x）=ln（）的定义域为

14的定义域是

1. 设f (x)＝lg(ax²－2x＋a),

(1) 如果f (x)的定义域是(－∞, ＋∞)，求a的取值范围；

(2) 如果f (x)的值域是(－∞, ＋∞)，求a的取值范围．

15.已知函数

（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围

、

（2）若函数的值域为R，求实数a的取值范围

（3）若函数的定义域为，求实数a的值；

（4）若函数的值域为，求实数a的值.

16.若函数的定义域为，则函数的定义域为　　　　　　

17.已知函数f(2^x）的定义域是［-1，1］，求f(log₂x)的定义域.

18若函数y=lg(4-a·2^x)的定义域为R，则实数a的取值范围为

19已知满足不等式，函数的值域是

'

20求函数的值域。

21已知函数f(x)=log₂+log₂(x-1)+log₂(p-x). （1）求f(x)的定义域； （2）求f(x)的值域.

解：f(x)有意义时，有

由①、②得x＞1,由③得x＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p＞1,f(x)的定义域是(1,p).

（2）f(x)=log₂［(x+1)(p-x)］ =log₂［-（x-）²+］ (1＜x＜p),

①当1＜＜p，即p＞3时， 0＜-(x-,

∴log₂≤2log₂(p+1)-2.

②当≤1，即1＜p≤3时， ∵0＜-(x-∴log₂＜1+log₂(p-1).

、

综合①②可知： 当p＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log₂(p+1)-2］;

当1＜p≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log₂(p-1)).

二、利用对数函数的性质，比较大小

例1、比较下列各组数中两个数的大小：

（1），；　（2），；

（3），； （4），，

1.，，的大小关系是

@

2.已知a²>b>a>1，则m=log_ab，n=log_ba，p= log_b的大小关系是

3.已知log_m5>log_n5,试确定m和n的大小关系

4.已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则log_a的大小关系是

5.已知logb＜loga＜logc,比较2^b,2^a,2^c的大小关系.

6.设，则

7.

8.

】

9.设0 0，且a≠1，试比较| loga（1-x） |与| loga（1+x） |的大小。

10.已知函数，则，，的大小关系是

三、解指、对数方程：

（1） （2）（3）（4）

1.已知3^a=5^b=A,且=2，则A的值是

2.已知log₇［log₃(log₂x)］=0，那么等于

3.已知log₇［log₃(log₂x)］=0，那么x等于

:

4..若x∈(e^-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln³x,则

5.若，那么等于

6. 已知，则

7. 已知，求的值．

四、解不等式：

1.

2.

】

3.设满足，给出下列四个不等式：

①，②，③，④，其中正确的不等式有

4.已知：(1)在上恒有，求实数的取值范围。

5.已知函数，当时，恒成立，求实数的取值范围。

6.求的取值范围，使关于的方程有两个大于的根．

（2008·全国）若x∈(e^-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln³x,则

7.已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则log_a的大小关系是

|

8.已知函数f(x)=log_ax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围

9.已知函数f（x）=log₂(x²-ax-a)在区间（-∞, 1-］上是单调递减函数.求实数a的取值范围.

10.若函数在区间上是增函数，的取值范围

11.已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是

12.若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是

13.．设函数若，则的取值范围是（　　）

14.设a>0且 a≠1，若函数f (x)＝有最大值，试解不等式>0

—

五、定点问题

1.若函数y=log_a(x+b) (a＞0,且a≠1)的图象过两点（-1，0）和（0，1），则

2.若函数y=log_a(x+b) (a＞0,且a≠1)的图象过两点（-1，0）和（0，1），则

3.函数恒过定点 .

六、求对数的底数范围问题

1.（1）若且，求的取值范围

2. （2）若，求的取值范围

~

3..若且，则的取值范围

4.函数的定义域和值域都是，则的值为 　　　　　.

5.若函数在上单调递减，则的取值范围是　　　　　

6.函数y=(ax+a-1)在x≥2上单调减，求实数a的范围

7..已知y=(2-)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.

8.已知函数y=log(x²-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数，求a的取值范围.

9.已知函数f(x)=log_ax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，

·

试求a的取值范围.

10.若函数在上是增函数，的取值范围是

11.使成立的的取值范围是

12.若定义在(－1，0)内的函数f (x)＝log_2a(x＋1)满足f (x)＞0，则a的取值范围是

七、最值问题

1.函数y＝log _ax在[2, 10]上的最大值与最小值的差为1，则常数a＝　　　　　.

2.求函数的最小值　　　　　,最大值　　　　　.。

3.设a＞1,函数f(x)=log_ax在区间［a,2a］上的最大值与最小值之差为，则a=

·

4.函数f（x）=a^x+log_a（x+1）在［0，1］上的最大值和最小值之和为a，则a=

5.已知,则函数的最大值是 ，最小值是 .

6.已知，求函数的最大值与最小值

7.已知满足 ，求函数的最值。

8.

9.函数f (x)＝a^x＋log ^(x+1)在[0, 1]上的最大值与最小值之和为a，则a＝

10.求函数的最小值

[

11.函数在区间上的最大值比最小值大2，则实数= ．

八、单调性

1.讨论函数的奇偶性与单调性

2.函数的定义域是 ,值域是 ，单调增区间是

3.函数的递减区间是 ．

4.函数y=log_1/3(x²-3x)的增区间是

5.证明函数在上是增函数

|

6.函数在上是减函数还是增函数？

7.求函数的单调区间，并用单调定义给予证明

.8.求y=(-2x)的单调递减区间

9..求函数y=(-4x)的单调递增区间

10.函数y=log(x²-3x+2)的递增区间是

11.函数的值域是 ，单调增区间是 ．

12.若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围

<

1.证明函数y= (+1)在（0，+∞）上是减函数；

2.已知函数f（x）=log₂(x²-ax-a)在区间（-∞, 1-］上是单调递减函数.，求实数a的取值范围.

3.已知函数，（其中实数）

（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）若在上有意义，试求实数的取值范围

小结：复合函数的单调性

的单调相同，为增函数，否则为减函数

九、奇偶性

%

1.函数的奇偶性是　　　 。

2.若函数是奇函数，且时，，则当时，　　　

3.偶函数在内单调递减，，则之间的大小关系

4.已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为

5.已知函数若则　　　　　.

6.已知奇函数满足，当时，函数，则= ．

7.

/

8.知函数f(x)=log_a (a＞0,且a≠1，b＞0)（1）求f(x)定义域；（2）讨论f(x)奇偶性；（3）讨论f(x）单调性

,b∈R，且a≠2,定义在区间（-b,b）内的函数f(x)=是奇函数

1）求b取值范围2）讨论函数f(x)单调性.

10.设a,b∈R，且a≠2,定义在区间（-b,b）内的函数f(x)=是奇函数.

（1）求b的取值范围； （2）讨论函数f(x)的单调性.

11.已知函数其中，设.

（1）求函数的定义域，判断的奇偶性，并说明理由；

$

（2）若，求使成立的的集合.

十、对称问题与解析式

1.已知函数的定义域是，且对任意的满足，当时有，请你写出一个满足上述条件的函数　　　　　　　　　。

2.已知函数满足

（1）求的解析式；（2）判断的奇偶性；（3）讨论的单调性；（4）解不等式

3.已知定义域为的函数满足条件：对于定义域内任意都有

.(1)求证：，且是偶函数；(2)请写出一个满足上述条件的函数.

>

5.已知函数f(x)=log_a(x+1)(a＞1),若函数y=g(x)图象上任意一点P关于原点对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.

（1）写出函数g(x)的解析式； （2）当x∈［0，1）时总有f(x)+g(x)≥m成立，求m的取值范围.

解 （1）设P（x，y）为g(x)图象上任意一点， 则Q（-x，-y）是点P关于原点的对称点，

∵Q（-x，-y）在f(x)的图象上， ∴-y=log_a（-x+1），即y=g(x)=-log_a(1-x). （2）f(x)+g(x)≥m,即log_a≥m.

设F（x）=log_a,x∈［0，1）， 由题意知，只要F（x）_min≥m即可.

∵F（x）在［0，1）上是增函数， ∴F（x）_min=F（0）=0.故m≤0即为所求

1）证明 设点A、B的横坐标分别为x₁、x₂,

—

由题设知x₁＞1,x₂＞1,则点A、B的纵坐标分别为log₈x₁、log₈x₂.

因为A、B在过点O的直线上，所以点C、D的坐标分别为(x₁,log₂x₁)、(x₂,log₂x₂),

由于log₂x₁==3log₈x₁,log₂x₂=3log₈x₂, OC的斜率为k₁=, OD的斜率为由此可知k₁=k₂,即O、C、D在同一直线上.

（2）解 由于BC平行于x轴，知log₂x₁=log₈x₂，即得log₂x₁=log₂x₂,x₂=x³₁,

代入x₂log₈x₁=x₁log₈x₂，得x³₁log₈x₁=3x₁log₈x₁,由于x₁＞1,知log₈x₁≠0,故x³₁=3x₁, 又因x₁＞1,解得x₁=,于是点A的坐标为（，log₈).

6.已知过原点O的一条直线与函数y=log₈x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线与函数y=log₂x的图象交于C、D两点.

（1）证明:点C、D和原点O在同一直线上； （2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.

7.设函数 且 ．

】

　① 求 的解析式，定义域；② 讨论 的单调性，并求 的值域．

十一、对数函数图象

1．函数的图象是由函数的图象 得到。

2. 函数的图象是由函数的图象 得到。

3. 函数（）的图象是由函数的图象

当时向 __ 单位得到;

当时向 __ 单位得到;

[

当时向 __ 单位得到;

当时向 __ 单位得到。

尝试总结：平移变换的法则

1.将函数y=2^x的图象向左平移1个单位得到C₁，将C₁向上平移1 个单位得到C₂，而C₃与C₂关于直线y=x对称，则C₃对应的函数解析式是

2.函数的图像与对数函数的图像的关系，并画出它们的示意图，由图像写出它的单调区间：

(1)； (2)；　

《

(3) ；(4)

1.已知x₁是方程x＋lgx＝3的根，x₂是方程x＋10^x＝3的根求函数f (x)＝的单调区间

2.如图，曲线是对数函数的图象，已知的取值，

则相应于曲线的值依次为(    )．

3.方程的解的个数为

4.已知关于x的方程的两根均大于1，则实数的取值范围是

5.方程的实根个数是　　　　　个.则x₁＋x₂＝

[

6.已知f(x)＝1＋log_x3，g(x)＝2log_x2，比较f(x)与g(x)的大小

7.设a>0且a≠1,求证：方程-x=2a的根不在区间[-1,1]内

8.若，且，则满足的关系式是  （　　）

9.若 是偶函数，则 的图象是    (    )．

（A）关于 轴对称（B）关于 轴对称（C）关于原点对称　（D）关于直线 对称

10方程 实数解所在的区间是 (   )．（A）  （B） （C）  （D）

11.已知x、y为实数，满足（log₄y）²=，试求的最大值及相应的x、y的值．

￥

十二、附加内容（补充）

本节主要介绍以下几个问题

一、反函数的定义

二、反函数的求法

三、反函数存在的条件

四、反函数的性质

y=a^x及y=log_ax互为反函数

,反函数的定义

一般的,如果y是x的一个函数(y=f(x)),另一方面,x也是y的函数(x=g(y)),将此函数称作函数y=f(x)的反函数。一般仍用x表示自变量,y表示函数值,这样y=f(x)的反函数记作y=f^-1(x),y=f^-1(x)与y=f(x)互为反函数

y=a^x与y=log_ax互为反函数

注意：f^-1(x)与[f(x)]^-1不同，前者表示反函数，后者表示f(x)的倒数

求函数y=3x+6的反函数

解：由已知：x=y/3-2,这样y=3x+6的反函数为y=x/3-2

Y=a^x与y=log_ax ({x|x>0})互为反函数(由y=a^x中解出x,求出原函数的值域,为反函数的定义域

二,反函数的求法步骤

1、从y=f(x)中解出x;

2、求出原函数的值域即为反函数的定义域；

3，x、y互换并加注定义域即为所求

反函数存在的条件

y是x的函数，要求每个x对应惟一一个y; x是y的函数，要求每个y对应惟一一个x; 所以：反函数存在的等价条件是该函数的x与y一一对应

y=a^x在定义域内单调，它存在反函数；一般的，定义域内单调一定有x,y一一对应，故：一个函数在定义域内单调，则它一定存在反函数

思考：存在反函数，是否一定在定义域内单调？（不一定，如y=1/x）

反函数的简单性质

1、原函数与反函数的定义域与值域对调

2、f[f-1(y)]=y,f-1[f(x)]=x （由于x与y一一对应）

3、原函数与反函数的图象关于直线y=x对称。从而，原函数在定义域内单调，反函数也单调，而且与原函数具有相同的单调性

1.求出函数y=log₂ (-1

解：2^y=_,x=(y∈R) 反函数为：y= (X∈R)

2.求函数y=1+ (x≤-5)的反函数(答：f^-1(x)=(x≥1)

3..若函数f(x)= 的反函数为 求常数a,b,c的值(答：a=5,b=2,c=1)

4.已知y=x2-2ax+3在上存在反函数 ⑴求实数a的范围;⑵求a取得最值时相应的反函数解:⑴a≤1

⑵a=1时,y=x2-2x+3≥2,x= 故反函数为f^-1(x)=1+（x≥2）

5.已知函数y=- 的反函数是f^-1(x) 求f^-1(-1)

6.若函数f(x)的图象过点（1，2），则f^-1(x)的图象一定经过点

7.若点(1,2)既在函数y= +b,又在其反函数的图象上，求实数a,b的值

8.已知，（1）求其定义域；（2）解方程

对数与对数函数常考公式大全

1. 对数的定义公式：loga(x) = y，意思是a的y次方等于x，其中a为底数，x为真数，y为对数。

2. 对数运算法则：

(1) loga(x ∙ y) = loga(x) + loga(y)

(2) loga(x/y) = loga(x) - loga(y)

(3) loga(x^k) = k ∙ loga(x) （k为任意实数）

3. 对数换底公式：

logb(a) = logc(a) / logc(b)

4. 常用对数的底数：

(1) 以10为底的对数，记作log(x)或lg(x)

(2) 以e（自然常数）为底的对数，记作ln(x)

5. 对数性质：

(1) loga(1) = 0

(2) loga(a) = 1

(3) loga(x) = logb(x) / logb(a) （换底公式）

(4) 对于同一个底数，底数不变，真数相乘，对数相加；真数相除，对数相减。

6. 常用对数函数：

(1) y = log(x)：以10为底数的对数函数，也叫常用对数函数。

(2) y = ln(x)：以e为底数的对数函数，也叫自然对数函数。

以上是对数与对数函数（解析版）的相关内容，希望对你有所帮助。另外，今天的内容就分享到这里了，想要了解更多的朋友可以多多关注本站。