圆锥曲线背景下定值的探索（原卷版）

在圆锥曲线背景下，定值的探索是指通过对圆锥曲线方程中的参数进行变换和调节，寻找使得方程具有特定性质或满足特定条件的参数取值。圆锥曲线包括三种经典的曲线形式：椭圆、双曲线和抛物线，它们在数学和物理领域中具有广泛的应用。下面是小编整理的圆锥曲线背景下定值的探索（原卷版），仅供大家参考。

文章目录

圆锥曲线背景下定值的探索（原卷版）

圆锥曲线最值问题方法总结

圆锥曲线求最值的常见题型及答案

圆锥曲线定直线问题解题方法与技巧

圆锥曲线中定点问题4个模型

圆锥曲线知识点归纳总结大全

圆锥曲线背景下定值的探索（原卷版）

类型一:斜率的和与积为定值1-22题

1．已知椭圆经过点M（﹣2，﹣1），离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．

(1)求椭圆C的方程；

（2）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．

2．已知点是椭圆上的一点，椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，斜率为直线交椭圆于，两点，且，，三点互不重合.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，，分别为直线，的斜率，求证：为定值.

3．已知椭圆：()的左右焦点分别为，焦距为2，且经过点.直线过右焦点且不平行于坐标轴，与椭圆有两个不同的交点，，线段的中点为.

（1）点在椭圆上，求的取值范围；

（2）证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；

4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为

（1）求椭圆C的标准方程

（2）直线与椭圆C交于P、Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为①求四边形APBQ的面积的最大值

②设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，判断的值是否为常数，并说明理由.

5．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点，．

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围；

（3）若直线不过点，试问直线，的斜率之和是否为定值，若是定值求出定值，若不是定值说明理由．

6．如图所示，椭圆的离心率为，其右准线方程为，A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点A、B作斜率分别为、，直线AM和直线BN分别与椭圆C交于点M，N（其中M在x轴上方，N在x轴下方）.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线MN恒过椭圆的左焦点，求证：为定值.

7．已知椭圆：的焦点为，，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的上顶点为，过点作直线交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.

8．椭圆：过点，离心率为，其左、右焦点分别为，，且过焦点的直线交椭圆于，．

（1）求椭圆的方程；

（2）若点的坐标为，设直线与直线的斜率分别为，，试证明：．

9．已知椭圆的左、右焦点分别是，，点在椭圆上，且．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点且不过点的直线交椭圆于，两点，求证：直线与的斜率之和为定值．

10．已知圆与椭圆相交于点M(0，1)，N(0，-1)，且椭圆的离心率为.

（1）求的值和椭圆C的方程；

（2）过点M的直线交圆O和椭圆C分别于A，B两点.

①若，求直线的方程；

②设直线NA的斜率为，直线NB的斜率为，问：是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.

11．已知圆，动圆与圆相外切，且与直线相切.

(1)求动圆圆心的轨迹的方程.

(2)已知点，过点的直线与曲线交于两个不同的点（与点不重合），直线的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

12．已知、分别是椭圆的左右顶点，、是分别是上下顶点，且为等边三角形，是上异于、的一点．

（1）求椭圆的离心率；

（2）证明：直线与直线的斜率的积为定值，并求出该定值．

13．已知椭圆的离心为，且经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于两点(均异于点)，直线与分别交直线于点和点，求证：为定值.

14．已知椭圆E：的离心率为，直线l：y=2x与椭圆交于两点A，B，且．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设C，D为椭圆E上异于A，B的两个不同的点，直线AC与直线BD相交于点M，直线AD与直线BC相交于点N，求证：直线MN的斜率为定值．

15．已知点Q是圆上的动点，点，若线段QN的垂直平分线MQ于点P.

(I)求动点P的轨迹E的方程

(II)若A是轨迹E的左顶点，过点D（-3，8）的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值.

16．设椭圆的左右焦点分别为，椭圆上点到两焦点的距离之和为，椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆在第一象限交于点，点是第四象限的点且在椭圆上，线段被直线垂直平分，直线与椭圆交于点（异于点），求证直线的斜率为定值.

17．已知点，为椭圆的左、右焦点，，都在圆上，椭圆和圆在第一象限相交于点，且线段为圆的直径.

（1）求椭圆的方程；

（2）椭圆的左、右顶点分别为，，过定点的直线与椭圆分别交于点，，且点，位于第一象限，点在线段上，直线与交于点.记直线，的斜率分别为，.求证：为定值.

18．已知椭圆的左右焦点分别是，，点为椭圆短轴的端点，且的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）点是椭圆上的一点，是椭圆上的两动点，且直线关于直线对称，试证明：直线的斜率为定值.

19．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右顶点分别为A、B．已知，且点在椭圆上，其中e是椭圆的离心率．

（1）求椭圆C的方程．

（2）设P是椭圆C上异与A、B的点，与x轴垂直的直线l分别交直线、于点M、N，求证：直线与直线的斜率之积是定值．

20．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，短轴长为2，直线与椭圆有且只有一个公共点.

（1）求椭圆的方程；

（2）圆的方程为，若圆与直线相交于，两点(两点均不在坐标轴上)，试探究，的斜率之积是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由.

21．在平面直角坐标系中，椭圆与双曲线有相同的焦点，点是椭圆上一点，且的面积等于.

（1）求椭圆的方程；

（2）过圆上任意一点作椭圆的两条切线，若两条切线都存在斜率，求证：两切线斜率之积为定值.22．已知椭圆的中点在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点，在椭圆上，点、是椭圆上不同的两个动点，且满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由.

类型二:面积为定值1-15题

1．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹为曲线.

（1）求中点的轨迹曲线的方程；

（2）斜率为的直线过点且与曲线交于、两点，求的面积.

2．已知椭圆的两个顶点分别为，，焦点在轴上，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过作的垂线交于点.求与的面积之比.

3．已知椭圆：离心率为，点在椭圆上，点坐标，直线：交椭圆于、两点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的面积.

4．已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的下顶点为，过右焦点作与直线关于轴对称的直线，且直线与椭圆分别交于点，，为坐标原点，求的面积．

5．如图，已知点，以线段为直径的圆内切于圆.

（1）证明为定值，并写出点G的轨迹E的方程；

（2）设点A，B，C是曲线E上的不同三点，且，求的面积.

6．在直角坐标系中，椭圆:的离心率为，左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，的最小值为8.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆:，为椭圆上一点，过点的直线交椭圆于，两点，且为线段的中点，过，两点的直线交椭圆于，两点.当在椭圆上移动时，四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；不是，请说明理由.

7．如图，椭圆C：的离心率，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，又P，M，N为椭圆C上非顶点的三点．设直线，的斜率分别为，．

（1）求椭圆C的方程，并求的值；

（2）若，，判断的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．

8．在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆的左顶点与上顶点的距离为，且经过点.

（1）求椭圆C的方程.

（2）直线与椭圆C相交于P、Q两点，M是PQ的中点.若椭圆上存在点N满足，求证：△PQN的面积S为定值.

9．已知椭圆经过点，.

（1）求椭圆的方程及其离心率；

（2）若为椭圆上第一象限的点，直线交轴于点，直线交轴于点.求证：四边形的面积为定值.

10．已知椭圆C：过点，点B为其上顶点，且直线AB斜率为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P为第四象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积.

11．已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点为椭圆上的三点，若四边形为平行四边形，证明：四边形的面积为定值，并求该定值.

12．已知椭圆．离心率为，点与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于两点，为坐标原点直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．

13．已知点在椭圆上，设，，分别为椭圆的左顶点､上顶点､下顶点，且点到直线的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为坐标原点，，为椭圆上的两点，且，求证：的面积为定值，并求出这个定值.

14．已知椭圆的左焦点F在直线上，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于A、C两点，线段的中点为M，射线与椭圆交于点P，点O为的重心，探求面积S是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S的取值范围.

15．已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过两点

②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，

（1）在①②两个条件中任选一个条件，求点的轨迹方程；

（2）根据（1）所得点的轨迹方程，直线与点M轨迹交于､两点，且.求证：的面积为定值.

类型三:线段关系与距离为定值1-25题

1．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的右焦点，直线与椭圆相切于点（点在第一象限），过原点作直线的平行线与直线相交于点，问：线段的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.

2．如图，过抛物线的焦点F任作直线l，与抛物线交于A，B两点，AB与x轴不垂直，且点A位于x轴上方.AB的垂直平分线与x轴交于D点.

（1）若求AB所在的直线方程；

（2）求证：为定值.

3．已知椭圆的离心率，为椭圆上一点.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆(异于椭圆顶点)于、两点，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

4．已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，过点A作斜率为的直线与C相交于A，B，且，O坐标原点.

（1）求椭圆的离心率e；

（2）若，过点F作与直线平行的直线l，l与椭圆C相交于P，Q两点.

（ⅰ）求的值；

（ⅱ）点M满足，直线与椭圆的另一个交点为N，求的值.

5．已知圆和定点，平面上一动点满足以线段为直径的圆内切于圆，动点的轨迹记为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）直线与曲线交于不同两点、，直线，分别交轴于，两点．求证：．

6．已知椭圆C：的离心率为，过焦点且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的线段长为2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知点，，过点A的任意一条直线与椭圆C交于M，N两点，求证：．

7．已知椭圆E：的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：．

8．已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，直线y＝kx交椭圆于P，Q两点，M是椭圆上不同于P，Q的任意一点，直线MP和直线MQ的斜率分别为k₁，k₂．

（1）证明：k₁·k₂为定值；

（2）过F₂的直线l与椭圆交于A，B两点，且，求|AB|．

9．已知点在抛物线：上，直线：与抛物线有两个不同的交点.

（1）求的取值范围；

（2）设直线与抛物线的交点分别为，，过点作与的准线平行的直线，分别与直线和交于点和（为坐标原点），求证：.

10．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点为椭圆的上顶点.椭圆以椭圆的长轴为短轴，且与椭圆有相同的离心率.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作斜率分别为的两条直线，直线与椭圆分别交于点，直线与椭圆分别交于点.

（i）当时，求点的纵坐标；

（ii）若两点关于坐标原点对称，求证：为定值.

11．已知椭圆与直线有且只有一个交点，点为椭圆上任意一点，，，且的最小值为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆交于不同两点，，点为坐标原点，且，当的面积最大时，判断是否为定值，若是求出其值并证明，若不是请说明理由.

12．已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，且的周长为8．

（1）求椭圆的方程；

（2）若一条直线与椭圆分别交于，两点，且，试问点到直线的距离是否为定值，证明你的结论．

13．已知椭圆的离心率为，且经过点.

（1）求椭圆的方程.

（2）设为椭圆上非顶点的任意一点，若､分别为椭圆的左顶点和上顶点，直线交轴于，直线交轴于，，问：的值是不是定值？若为定值，求之，若不为定值，说明理由.

14．在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当在圆上运动时，线段上有一点，使得，

（1）求的轨迹的方程；

（2）若直线与椭圆相交于，两点，且以为直径的圆经过原点，求证：点到直线的距离为定值.

15．在平面直角坐标系xOy中，已知R（x₀，y₀）是椭圆C：（a＞b＞0）上一点，从原点O向圆R：（x﹣x₀）²+（y﹣y₀）²＝8作两条切线，分别交P、Q两点．

（1）若R点在第一象限，且直线OP⊥OQ，求圆R的方程；

（2）若直线OP、OQ的斜率存在，并记为k₁、k₂，求k₁•k₂；

（3）试问OP²+OQ²是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

16．已知双曲线的方程为：，其左右顶点分别为：，，一条垂直于轴的直线交双曲线于，两点，直线与直线相交于点.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过点的直线，与轨迹交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，试探讨是否为定值.若为定值，求出定值，否则说明理由.

17．已知动点(其中)到定点的距离比点到轴的距离大1.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）过椭圆的右顶点作直线交曲线于､两点，其中为坐标原点

①求证：；

②设､分别与椭圆相交于点､，证明：原点到直线的距离为定值.

18．已知椭圆的左，右焦点分别是，，离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，交轴于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点.求证：为坐标原点）为常数.

19．已知椭圆的长轴长为4，上顶点为，左、右焦点分别为，，且，为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点，为椭圆上的两个动点，，问：点到直线的距离是否为定值？若是，求出的值；若不是．请说明理由．

20．已知、是椭圆的左、右焦点，离心率为，点在椭圆上，且的周长为．

（1）求椭圆的方程：

（2）若点为椭圆的上顶点，过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于两个不同的点、，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值．

21．已知椭圆C：的的离心率为，且其右顶点到右焦点的距离为1.

（1）求C的方程；

（2）点M、N在C上，且，证明：存在定点P，使得P到直线的距离为定值.

22．已知点P是圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线l与半径相交于M点，P在圆周上运动时，设点M的运动轨迹为.

（1）求点M的轨迹的方程；

（2）若点N在双曲线(顶点除外)上运动，过点N，R的直线与曲线相交于，过点的直线与曲线相交于，试探究是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不为定值，请说明理由.

23．设椭圆的左､右焦点分别为，下顶点为为坐标原点，点到直线的距离为为等腰三角形.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若倾斜角为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于两点(点在点的上方)求线段与的长度之比.

24．已知椭圆E：过点，离心率为．

（1）求椭圆方程；

（2）已知不过原点的直线与椭圆相交于两点，点关于轴的对称点为，直线分别与轴相交于点，求的值．

25．已知椭圆M：，圆N是椭圆M长轴和短轴四个端点连接而成的四边形的内切圆.

（1）求圆N的方程；

（2）过圆N上的任一点A作圆N的切线交椭圆M于B，C两点，求证为定值.

类型四:向量关系为定值1-10题

1．设抛物线，为的焦点，过的直线与交于两点.

（1）设的斜率为，求的值；

（2）求证：为定值.

2．如图，过点的直线与抛物线交于两点.

（1）若，求直线的方程;

（2）记抛物线的准线为，设直线分别交于点，求的值.

3．已知椭圆方程为，直线与轴的交点记为，过右焦点的直线与椭圆交于，两点.

（1）设若且交直线于，线段中点为，求证：，，三点共线；

（2）设点的坐标为，直线与直线交于点，试问是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由.

4．已知椭圆的右焦点为，离心率，点A、B分别是椭圆E的上、下顶点，O为坐标原点.

（1）求椭圆E的方程；

（2）过F作直线l分别与椭圆E交于C、D两点，与y轴交于点P，直线AC和BD交于点Q，求的值.

5．已知双曲线，点的坐标为，过的直线交双曲线于点.

（1）若直线又过的左焦点，求的值；

（2）若点的坐标为，求证：为定值.

6．已知椭圆，离心率为，短轴长为．为椭圆的左右顶点，P为椭圆上任一点（不同于），直线分别与直线交于两点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若F为椭圆右焦点，试判断是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由．

7．已知抛物线的焦点为，且点与圆上点的距离的最大值为.

（1）求；

（2）若为坐标原点，直线与相交于，两点，问：是否为定值？若为定值，求出该定值;若不为定值，试说明理由

8．设双曲线C：，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点.

（1）求直线l倾斜角θ的取值范围；

（2）直线l交直线于点P，且点A在点P，F之间，试判断是否为定值，并证明你的结论.

9．已知椭圆E：（）的焦点为，，且点在E上．

（1）求E的方程；

（2）已知过定点的动直线l交E于A，B两点，线段的中点为N，若为定值，试求m的值．

10．已知椭圆：（）上的点到的两焦点的距离之和为6，的离心率为．

（1）求的标准方程；

（2）设坐标原点为，点在上，点满足，且直线，的斜率之积为，证明：为定值．

类型五:角度关系为定值1-10题

1．已知椭圆中心为原点，离心率，焦点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过定点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由.

2．已知椭圆的中心为原点，离心率，焦点，斜率为的直线与交于两点．

（1）若线段的中点为为上一点，且成等差数列，求点的坐标；

（2）若过点轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．

3．已知双曲线的方程.

（1）求点到双曲线C上点的距离的最小值；

（2）已知圆的切线(直线的斜率存在)与双曲线C交于A，B两点，那么∠AOB是否为定值?如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.

4．已知椭圆的离心率为，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切.

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，过定点的直线l交椭圆C于A，B两点，连接并延长交C于M，求证：.

5．设椭圆的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点、，求证：为定值．

6．已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线(不与轴重合)交椭圆于点､，直线､分别与直线交于点､，求的大小.

7．如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右焦点分别为F₁，F₂，A为椭圆C上一点，AF₁与y轴相交于点B，|AB|＝|F₂B|，|OB|＝.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A₁，A₂，过A₁，A₂分别作x 轴的垂线l₁，l₂，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m(k≠0)与l₁，l₂分别交于M，N两点，求证：∠MF₁N＝∠MF₂N.

8．已知动圆Q经过定点，且与定直线相切（其中a为常数，且）.记动圆圆心Q的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线？

（2）设点P的坐标为，过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明：.

9．已知抛物线的焦点为．点在上， ．

（1）求;

（2）过作两条互相垂直的直线，与交于两点，与直线交于点，判断是否为定值?若是，求出其值；若不是，说明理由．

10．在平面直角坐标系xOy中，已知点E(0，2)，以OE为直径的圆与抛物线C∶x²=2py(p>0)交于点M，N(异于原点O)，MN恰为该圆的直径，过点E作直线交抛物线与A，B两点，过A，B两点分别做拋物线C的切线交于点P.

（1）求证∶点P的纵坐标为定值；

（2）若F是抛物线C的焦点，证明∶∠PFA=∠PFB.

类型六:坐标关系为定值1-10题

1．已知P为圆：上一动点，点坐标为，线段的垂直平分线交直线于点Q.

（1）求点Q的轨迹方程；

（2）已知，过点作与轴不重合的直线交轨迹于两点，直线分别与轴交于两点.试探究的横坐标的乘积是否为定值，并说明理由.

2．设椭圆，椭圆的右焦点恰好是抛物线的焦点．椭圆的离心率为．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过定点的直线与椭圆E交于C，D两点（与点A，B不重合），证明：直线AC，BD的交点的横坐标为定值．

3．已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线l交于抛物线于，两点.

（1）求抛物线的方程；

（2）若射线，分别与椭圆交于点，，点为原点，，的面积分别为，，问是否存在直线使？若存在求出直线的方程，若不存在，请说明理由；

（3）若为上一点，，与轴相交于，两点，问，两点的横坐标的乘积是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.

4．如图，椭圆的离心率为，右焦点到相应准线的距离为1，点A， B，C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线交椭圆于点D，交x轴于点M（x₁，0），直线AC与直线BD交于点N（x₂，y₂）.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，求直线的方程；

（3）求证：为定值.

5．在直角坐标系中，曲线的点均在外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值．

（1）求曲线的方程；

（2）设为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点、和、．证明：当在直线上运动时，四点、、、的纵坐标之积为定值．

6．已知椭圆：的焦距为，点关于直线的对称点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，椭圆的上、下顶点分别为，，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点，.

求面积的最大值

②当与相交于点时，试问：点的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

7．在平面直角坐标系中，已知点，P是动点，且三角形的三边所在直线的斜率满足．

（Ⅰ）求点P的轨迹的方程；

（Ⅱ）若Q是轨迹上异于点的一个点，且，直线与交于点M，试探

究：点M的横坐标是否为定值？并说明理由．

8．已知椭圆过点，过右焦点且垂直于轴的直线截椭圆所得弦长是1．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点分别是椭圆的左，右顶点，过点的直线与椭圆交于两点（与不重合），证明：直线和直线交点的横坐标为定值．

9．过抛物线上一定点作两条直线分别交抛物线于，，

（1）若横坐标为的点到焦点的距离为1，求抛物线方程；

（2）若为抛物线的顶点，，试证明：过、两点的直线必过定点；

（3）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的斜率是非零常数.

10．已知，分别是椭图：的左，右焦点，的顶点都在椭圆上，且边，分别经过点，.当点在轴上时，为直角三角形且面积为.

（1）求的方程；

（2）设、两点的横坐标分别为、，求证：为定值.

类型七:系数关系为定值1-10题

1．已知椭圆C：()的离心率为，短轴一个端点到右焦点F的距离为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点F的直线l交椭圆于A､B两点，交y轴于P点，设，，试判断是否为定值？请说明理由.

2．已知椭圆经过点，且右焦点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过且斜率存在的直线交椭圆于，两点，记，若的最大值和最小值分别为，，求的值.

3．已知椭圆的离心率为，且椭圆C经过点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程;

（Ⅱ）已知过点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与直线交于点Q，设，，求证：为定值．

4．已知直线与圆相切，动点到与两点的距离之和等于、两点到直线的距离之和．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点的直线交轨迹于不同两点、，交轴于点，已知，，试问是否等于定值，并说明理由．

5．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若为定值．

6．焦点在x轴上的椭圆C：经过点，椭圆C的离心率为．，是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点M为的中点（O为坐标原点），过M且平行于OP的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存在实数，使得；若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．

7．已知抛物线：的焦点为，为坐标原点．过点的直线与抛物线交于，两点．

（1）若直线与圆：相切，求直线的方程；

（2）若直线与轴的交点为．且，，试探究：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．

8．已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N.

（1）求抛物线C的方程；

（2）求直线的斜率的取值范围；

（3）设O为原点，，求证：为定值.

9．已知椭圆的长轴长与短轴长之比为2，过点且斜率为1的直线与椭圆相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，若，．证明：为定值．

10．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点，直线的倾斜角为60°，原点到直线的距离是．

（1）求的方程；

（2）过上任一点作直线，分别交于，（异于的两点），且，，探究是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

圆锥曲线最值问题方法总结

解题技巧

求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的高频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、相关点法、定义法、参数法等。

【例1.】已知平面上两定点点满足求点的轨迹方程。

【例2.】已知点在椭圆上运动，过作轴的垂线，垂足为，点满足求动点的轨迹方程。

【例3.】已知圆点是圆上的动点，线段的中垂线交于点，求动点的轨迹方程。

【例4.】过点的直线与椭圆相交于两点，求中点的轨迹方程。

巩固提升

1.在平面直角坐标系中，点若直线上存在点,使得则实数的取值范围为 .

2.已知为圆上任意一点，线段的中点为则的取值范围为 .

3.抛物线的焦点为点在抛物线上运动，点满足则动点的轨迹方程为 .

4.已知定圆定点动圆过定点且与定圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为 .

5.已知定直线定圆动圆与直线相切，与定圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为

6.直线与抛物线的斜率为1的平行弦的中点轨迹有公共点，则实数的取值范围为 .

7.抛物线的焦点为过点作直线交抛物线于两点，以为邻边作平行四边形求顶点的轨迹方程。

8.在平面直角坐标系中，已知直线与椭圆相交于两点，为坐标原点。

（1）若直线的方程为求的值；

（2）若求线段的中点的轨迹方程。

直线过定点问题

解题技巧

证明动直线在一定的条件下过定点是解析几何中的一类重要题型,这类问题解题一般有两

种解法.法1设直线，求解参数；法2求两点，猜定点，证向量共线。

【例一】已知椭圆的半焦距为，离心率为，左顶点到直线距离为6，点是椭圆上的两个动点。

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线,求证：直线过定点，并求出点的坐标。

【例二.】已知一动圆经过点,且在轴上截得的弦长为4，设该动圆圆心的轨迹为曲线。

（1）求曲线的方程；

（2）过点任意作两条互相垂直的直线，分别交曲线于不同的两点和,设线段的中点分别为.

①求证：直线过定点，并求出定点的坐标；②求的最小值。

巩固提升

1.设椭圆的右焦点到直线的距离为3，且过点。

（1）求的方程；

（2）设椭圆的左顶点是，直线与椭圆交于不同的两点（均不与重合），且以为直径的圆过点。试判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若否，说明理由。

2.椭圆的上顶点为，右焦点为，点都在直线上。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）为椭圆上的两点，且直线的斜率之积为，证明：直线过定点，并求定点坐标。

3.抛物线上一点满足，其中为抛物线的焦点。

（1）求抛物线的方程；

（2）设直线和分别与抛物线交于不同于点的两点，若，证明：直线过定点，并求此定点的坐标。

4.已知直线的方程为，点是抛物线上距离直线最近的点，点是抛物线上异于点的点，直线与直线交于点，过点与轴平行的直线与抛物线交于点。

（1）求点的坐标；

（2）证明：直线恒过定点，并求这个定点的坐标。

圆锥曲线中的定值问题

【例1.】设抛物线直线经过点且与抛物线交于、两点，证明：为定值。

【例2.】椭圆离心率的面积为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为上一点，直线与轴交于点直线与轴交于点求证：为定值。

巩固提升

1.已知椭圆的离心率为，且过点。

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆长轴上的动点，过作斜率为的直线交椭圆于两点，求证：为定值。

2.已知点，直线为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且。

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点的直线交轨迹与两点，交于点，若，求的值。

3.已知抛物线经过点过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于。

（1）求直线的斜率的取值范围；

（2）设为原点，，求证：为定值。

4.已知椭圆的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线与椭圆有且只有一个公共点。

（1）求椭圆的方程及点的坐标；

（2）设为坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点，且与直线交于点，证明：存在常数，使得，并求的值。

5.在平面直角坐标系中，椭圆过点，右焦点为，过焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点，点关于原点的对称点为，直线分别交直线于两点。

（1）求椭圆的方程；

（2）若的坐标为，求直线的方程；

（3）记两点的纵坐标分别为，问：是不是定值

6.过抛物线上一定点作两条直线分别交抛物线于不与重合的两点。

（1）求该抛物线上纵坐标为1的点到其焦点的距离；

（2）当与的倾斜角互补时，证明直线的斜率为非零的常数，并求出此常数。

圆锥曲线中的最值问题

解题技巧

求最值(范围)问题是圆锥曲线常考题型,这类题解题的一般步骤是：

(1)设出直线的方程或、点的坐标；

(2)将直线的方程代入圆锥曲线中,计算弦长、点到直线的距离等中间量；

(3)将求范围的目标量表示成直线中引入的参数的函数关系式;

(4)运用函数、均值不等式等基本方法求出最值(范围).

【例1.】已知点椭圆的离线率为是椭圆的焦点，直线的斜率为为坐标原点。

（1）求方程；

（2）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程。

巩固提升

1.在平面直角坐标系中，已知点点在直线上，点满足点的轨迹为曲线。

（1）求的方程；

（2）为上的动点，为在点处的切线，求点到距离的最小值。

2.已知椭圆的一个焦点为，左、右顶点分别为经过点的直线与椭圆交于两点。

（1）求椭圆的方程；

（2）记与的面积分别为和，求的最大值。

3.已知抛物线，过其焦点作斜率为1的直线与交于两点，。

（1）求抛物线的方程；

（2）已知动圆的圆心在上，且过定点，若动圆与轴交于两点，，求的最小值。

4.已知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为，离心率为，点是椭圆上的动点，面积的最大值为。

（1）求椭圆的方程；

（2）设经过点的直线的直线与椭圆相交于不同的两点，线段的中垂线为，若直线与相交于点，与直线相交于点，求的最小值。

5.设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点。

（1）证明为定值，并写出点的轨迹方程；

（2）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围。

6.已知椭圆，过点作圆的切线交椭圆与两点。

（1）求椭圆的焦点坐标和离心率；

（2）将表示为的函数，并求的最大值。

7.已知点为抛物线的焦点，过的直线交抛物线与两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点右侧，记的面积分别为。

（1）求的值及抛物线的准线方程；

（2）求的最小值及此时点的坐标。

常见几何关系的代数化方法

解题技巧

解析几何的基本思想是用代数的方法研究几何问题，因此，积累一些常见的几何关系的代数化方法是有必要的，本专题归纳了一些常见的几何关系的处理方法：

（1）以AB为直径的圆过点;

（2）点P在以AB为直径的圆内;

（3）点P在以AB为直径的圆外;

（4）四边形PQRS为平行四边形对角线PR与QS互相平分;

（5）四边形PQRS为菱形对角线PR与QS互相垂直平分；

（6）四边形PQRS为矩形对角线PR与QS互相平分且相等；

（7）,其中M为AB的中点；

（8）直线AB与直线MN关于水平线或竖直线对称;

（9）F为的垂心、且.

【例一】已知圆C：及点F（1，0），点P在圆上，M,N分别为PF，PC上的点，且满足.

（1）求N的轨迹W的方程；

（2）是否存在过点F（1，0）的直线与曲线W相交于A,B两点，并且与曲线W上一点Q，使得四边形OAQB为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。

【例二】在直角坐标系中，曲线与直线交于M,N两点。

（1）当时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（2）在轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有说明理由。

巩固提升

1.已知A,B,C是椭圆上的三个点，是坐标原点。

（1）当点B是W的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积；

（2）当点B不是W的顶点，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由；

2.已知椭圆的右焦点为,上顶点为为坐标原点，若的面积为，且椭圆的离心率为。

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在直线交椭圆于两点，且点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。

3.直线圆其中是坐标原点，椭圆的离心率为直线被圆截得的弦长与椭圆的长轴长相等。

（1）求椭圆的方程；

（2）过点（3，0）的直线与椭圆交于两点，设是否存在直线，使若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。

4.设分别是椭圆的左、右焦点，过作斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列。

（1）求椭圆的离心率；

（2）设点满足求的方程。

5.已知椭圆直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为.

（1）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；

（2）若过点，延长线段与交于点四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率；若不能，说明理由。

6.设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且过点（1）求椭圆的方程；

（2）设为直线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点,证明：点在以为直径的圆内。

点差法解决中点弦问题

解析技巧

设直线与圆锥曲线交于两点，中点为，这类与圆锥曲线的弦和弦中点有关的问题，一般叫做中点弦问题，点差法是解决中点弦问题的重要方法。一般步骤是：

（1）设两点的坐标分别为、；

（2）代入圆锥曲线的方程；

（3）结合中点公式、斜率公式等化简，得出结果。

【例一】已知双曲线，点是双曲线一条弦的中点，则该弦所在直线的方程为 .

【例二】已知椭圆上两个不同的点关于直线对称，求实数的取值范围。

巩固提升

1.过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，则直线的方程为 .

2.已知抛物线，过点引抛物线的一条弦，使该弦被点平分，则这条弦所在直线的方程为 .

3.已知抛物线的顶点在原点，准线方程为，直线与抛物线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为 .

4.椭圆的弦被点平分，则直线的方程为 .

5.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，且，则直线的斜率为 （ ）

6.椭圆的斜率为3的弦的中点的轨迹方程为 .

7.抛物线上存在不同的两点关于直线对称，则实数的取值范围为 .

8.已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为。证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值。

9.已知双曲线，是否存在过点的直线与双曲线交于两点，且恰为的中点？

10.已知椭圆的半焦距为，原点到经过两点的直线的距离为。

（1）求椭圆的离心率；

（2）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过两点，求

椭圆的方程。

圆锥曲线中的非对称韦达定理问题处理技巧

解析技巧

在圆锥曲线问题中，将直线的方程与圆锥曲线方程联立，消去或，得到关键方程（不妨设方程的两根为和），结合韦达定理来进行其他的运算是常见的解题方法。能够利用韦达定理计算的量一般有等，但在某些问题中，可能会涉及需计算两根系数不相同的代数式，例如，运算过程中出现了等结构，且无法直线通过合并同类项化为系数相同的情况处理，像这种非对称的韦达定理结构，通常是无法根据韦达定理直接求出的，那么一般的处理方法是局部计算、整体约分。需要通过适当的配凑，将分子和分母这种非对称的结构凑成一致的，剩下的一般可以转化为对称的韦达定理加以计算，最后通过计算，发现分子、分母可以整体约分，从而解决问题。下面通过几个例题来详细介绍这类的解题方法。

1.平面内有两定点曲线上任意一点都满足直线与直线的斜率之积为过点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点,直线与交于点（1）求曲线的轨迹方程；

（2）当点异于两点时，求证：为定值。

【例1.】已知椭圆过点且离心率为（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的上、下顶点分别为过点斜率为的直线与椭圆交于两点。求证：直线与的交点在定直线上。

【例2.】椭圆有两个顶点过其焦点的直线与椭圆交于两点，并与轴交于点,直线与交于点.

（1）当时，求直线的方程；

（2）当点异于两点时，证明：为定值。

巩固提升

1.已知分别是椭圆的右顶点和上顶点，在椭圆上，且，设直线的斜率分别为和，证明：为定值。

2.已知椭圆的左、右焦点分别为分别为左、右顶点，直线与椭圆交于两点，当时，是椭圆的上顶点，且的周长为6.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线交于点，求证：点的横坐标为定值

3.为椭圆的右焦点，分别为其左、右顶点，过作直线交椭圆于不与重合的两点，设直线斜率分别为和，求证：为定值

圆锥曲线中的三点共线问题

解题技巧

平面解析几何中三点共线相关问题

三点共线问题是高考的热点问题，大题小题都有涉及。这类题处理的方法一般来说有两个：①斜率相等；②向量共线。证明三点共线问题的解题步骤：

（1）求出要证明共线的三点的坐标；（如果已给出，则无需这一步）

（2）运用斜率相等或向量共线来证明三点共线。

特别提醒：三点共线问题的两个处理方法中，向量共线往往更方便，因为无需考虑斜率不存在的情形，所以大题一般用向量共线，小题用斜率相等。

【例1.】抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（ ）

【例2.】已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，设中点为在抛物线的准线上的射影分别为（1）求直线与直线所成的夹角的大小；

（2）证明：三点共线。

专题习题

1.抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（ ）

2.椭圆的右焦点为，设直线与轴的交点为，过点的直线与椭圆交于两点，为线段的中点。

（1）若直线的倾斜角为，求的面积；

（2）过点作直线与点,证明：三点共线。

3.已知椭圆的右焦点为，椭圆的上顶点和两焦点的连线构成一个等边三角形，且面积为（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆交于不同的两点，设点关于椭圆长轴的对称点为,试求三点共线的充要条件。

4.已知椭圆的离心率为焦距为斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点。

（1）求椭圆的方程；

（2）若求的最大值；

（3）设直线与椭圆的另一个交点为直线与椭圆的另一个交点为若和点共线，求5.已知曲线.

（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；

（2）设曲线与轴的交点分别为（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点直线与直线交于点求证：三点共线。

6.已知两个定点，动点满足。

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点的直线与曲线交于不同的两点，设点关于轴的对称点为（两点不重合），证明：三点在同一直线上。

巧用曲线系方程解决圆锥曲线中的四点共圆问题

解题技巧

圆锥曲线中的四点共圆问题在高考中是一大难点，应用曲线系方程可以很好地解决这类问题。

1.曲线系方程：设和分别表示平面上的两条曲线，则经过两曲线交点的曲线系方程可以为2.高考中常见的四点共圆问题是两条直线与圆锥曲线交于不同的四点，判断四点是否在同一圆上，如果是，需求出圆的方程。应用曲线系方程求解这类四点共圆问题的解题步骤是：（1）设经过圆锥曲线和两直线交点的曲线系方程为，其中表示圆锥曲线方程，表示两直线构成的曲线的方程；

（2）将展开，合并同类项，与圆的一般方程比较系数，求出的值；

（3）将反代回方程的展开式，化为圆的标准方程，从而得出四点共圆且求出了圆的方程。

3.圆锥曲线中四点共圆问题的结论：设两条直线和圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）交于四点，则四个交点在同一个圆上的充要条件是两直线的倾斜角互补。

【例1.】已知抛物线的焦点为,经过点且斜率为1的直线与抛物线交于两点，线段的中垂线和抛物线交于两点，证明四点共圆，并求出该圆的方程。

【例2.】设椭圆的右焦点为，经过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，若四点共圆，求的值以及该圆的方程。

【例3.】已知是圆上一动点，线段的中垂线与直线交于点.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点且斜率为2的直线与轨迹交于两点，过原点且斜率为-2的直线与轨迹交于两点，判断四点是否在同一圆上，若是，求出圆的方程。

巩固提升

1.已知抛物线的焦点为过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于和问：四点是否共圆？若是，求出圆的方程；若不是，说明理由。

2.双曲线的一条渐近线方程为且过点（1）求双曲线的方程；

（2）斜率为的直线过点且与双曲线交于两点，斜率为的直线过原点且与双曲线交于两点，若四点是否在同一圆上，求的值及该圆的方程。

3.已知抛物线的焦点为,直线与轴的交点为与的交点为且（1）求的方程；

（2）过的直线与相交于两点，若的垂直平分线与相交于两点，且四点在同一圆上，求的方程。

抛物线中的阿基米德三角形

解题技巧

阿基米德三角形：如图，抛物线的一条弦以及弦端点处的两条切线所围成的三角形，叫做抛物线中的阿基米德三角形。下面给出阿基米德三角形的一些常见性质。

如图，不妨设抛物线为，抛物线上两点处的切线交于点，则

（1）设中点为，则平行（或重合）于抛物线的对称轴；

（2）的中点在抛物线上，且抛物线在处的切线平行于弦；

（3）若弦过抛物线内的定点，则点的轨迹是直线；特别地，若弦过定点，则点的轨迹是直线；

（4）若弦过抛物线内的定点，则以为中点的弦与（3）中点的轨迹平行；

（5）若直线与抛物线没有交点，点在直线上运动，则以为顶点的阿基米德三角形的底边过定点；

（6）若过焦点，则点的轨迹为抛物线准线，且面积的最小值为；

（7）；

（8）。

【例一】已知抛物线的焦点为，抛物线上两点处的切线交于点，中点为。

（1）证明：轴；

（2）设的中点为，证明：在抛物线上，且抛物线在处的切线平行于直线；

（3）证明：；

（4）证明：（5）若过点，求点的轨迹的方程；当恰为中点时，判断与轨迹的位置关系；

（6）若过点，求点轨迹方程，并证明求面积最小值

【例二】已知抛物线的焦点为，点是直线上的动点，过作抛物线的两条切线，切点分别为和，证明：直线过定点，并求出定点的坐标。

巩固提升

1.已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则 .

2.已知抛物线的焦点为，是抛物线上两动点，且，过两点分别作抛物线的切线，设其交点为，则的值（ ）

大于0 等于0 小于0 无法判断

3.抛物线焦点为，点为直线上的一动点，过点向抛物线作切线，切点为，以点为圆心的圆恰与直线相切，则该圆面积的范围为（ ）

4.已知抛物线与点，过抛物线的焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则（ ）

5.已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于不同的两点和，抛物线在两点处的切线交于点，设，则的值为 .（结果用m表示）

6.已知为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于不同的两点和，抛物线在两点处的切线交于点，则的最小值为 .

7.已知抛物线的焦点为，是抛物线上的两动点，且，过两点分别作抛物线的切线，设其交点为。

（1）证明：为定值；

（2）设的面积为，写出的表达式，并求的最小值。

圆锥曲线中的双切线题型

解题技巧

过圆锥曲线外一点，作圆锥曲线的两条切线，由此衍生的一系列问题，一般称之为双切线问题。这类问题一般的处理步骤是：

（1）设切线的斜率为，写出切线的方程；

（2）将切线的方程代入圆锥曲线方程，化简得出关键方程；

（3）由（2）中方程满足判别式，建立关于的一元二次方程，两切线的斜率为方程的两根；

（4）结合韦达定理，计算等，并将之用于其他量的计算。

【例一】设椭圆的左、右焦点分别为，其离心率，且点到直线的距离为。

（1）求椭圆的方程；

（2）设点是椭圆上一点，过点作圆的两条切线，切线与轴交于两点，求的取值范围。

巩固提升

1.已知椭圆的一个焦点为，离心率为。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程。

2.设椭圆，动圆，其中是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，过原点作两条射线与圆相切，分别交椭圆于两点，且切线长的最小值为。

（1）求椭圆的方程；

（2）求证：的面积为定值。

3.已知圆和抛物线为坐标原点。

（1）若直线与圆相切，与抛物线交于两点，且满足，求直线的方程；

（2）过抛物线上一点作两条直线与圆相切，且分别交抛物线交于两点，若直线的斜率为，求点的坐标。

4.已知圆是圆上的一个动点，线段的垂直平分线与线段相交于点。

（1）求动点的轨迹方程；

（2）记点的轨迹为是直线上的两点，满足，曲线的过点的两条切线（异于）交于点，求四边形的面积的取值范围。

圆锥曲线求最值的常见题型及答案

一、基础题

涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。此类题在考试中最常见，解此类题应注意：

（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系；

（2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在轴和轴的两种（或四种）情况；

（3）注意，，，的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中，双曲线中，离心率，准线方程；

例题：

（1）已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 （ ）

A． B． C． D．（答：C）；

（2）方程表示的曲线是 （答：双曲线的左支）

（3）已知点及抛物线上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是 （答：2）

（4）已知方程表示椭圆，则的取值范围为 （答：）；

（5）双曲线的离心率等于，且与椭圆有公共焦点，则该双曲线的方程 （答：）；

（6）设中心在坐标原点，焦点、在坐标轴上，离心率的双曲线C过点，则C的方程为 （答：）

二、定义题

对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。常用到的平面几何知识有：中垂线、角平分线的性质，勾股定理，圆的性质，解三角形（正弦余弦定理、三角形面积公式），当条件是用向量的形式给出时，应由向量的几何形式而用平面几何知识；涉及圆的解析几何题多用平面几何方法处理；

圆锥曲线的几何性质：

（1）椭圆（以（）为例）：

①范围：； ②焦点：两个焦点；

③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2； ④准线：两条准线；

⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。

例：（1）若椭圆的离心率，则的值是__（答：3或）；

（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：）

（2）双曲线（以（）为例）：

①范围：或；②焦点：两个焦点；

③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线； ⑤两条渐近线：。

⑥离心率：，双曲线，等轴双曲线，越小，开口越小，越大，开口越大；

例：（3）双曲线的渐近线方程为y=±3x/4,则双曲线的离心率为

（4）双曲线的离心率为，则= （答：4或）；

（5）设双曲线（a>0,b>0）中，离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是 （答：）；

（3）抛物线（以为例）：

①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；

③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；

④准线：一条准线； ⑤离心率：，抛物线。

（4）点和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆外； 2）点在椭圆上＝1；（3）点在椭圆内例：（6）设，则抛物线的焦点坐标为 （答：）；

（7）已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3，则点P到右准线的距离为 （答：）；

（8）已知抛物线方程为，若抛物线上一点到轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于 ；

（9）若该抛物线上的点到焦点的距离是4，则点的坐标为 （答：）；

（10）点P在椭圆上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为 （答：）；

三、直线与圆锥曲线的关系题

（1）写直线方程时，先考虑斜率存在，把直线方程设为的形式，但随后应对斜率不存在的情况作出相应说明，因为不存在的情况很特殊，一般是验证前面的结论此时是否成立；

（2）联立直线方程和圆锥曲线方程，消去或消去，得到方程 ①或 ②，此方程是后一切计算的基础，应确保不出错。

（3）当方程①或②的二次项系数时,方程是一次方程，只有唯一解，不能用判别式，这种情况是直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行；

（过抛物线外一点作与抛物线只有一个公共点的直线有三条，

过双曲线含中心的区域内一点（不在渐近线上）作与双曲线只有一个公共点的直线有四条；）

（4）当方程①或②的二次项系数时，判别式△、△、△，与之相对应的是，直线与圆锥曲线分别相离、相切、相交。如直线与圆锥曲线有公共点，应用△来求斜率的范围；

例题：

（1）过点作直线与抛物线只有一个公共点，这样的直线有 （答：2）；

（2）过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 （答：）；

（3）直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是 （答：[1，5）∪（5，+∞））；

（4）过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若│AB︱＝4，则这样的直线有 条（答：3）；

（5）直线与圆锥曲线相交成弦（前提，△），记为，其中，，的坐标可由方程①或②求得，一般是由方程①求出，再代入直线方程求，或由方程②求出，再代入直线方程求。

（6）涉及弦长问题，可用韦达定理，由方程 ①求出，

，在直线上，∴，，

,∴。

请注意，如果联立直线和圆锥曲线方程，消去，得到 ②，继而用韦达定理，求出，,∴；

（6）若抛物线的焦点弦为AB，，则①；②（7）若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点（7）涉及弦中点问题，可用韦达定理，由方程 ①求出，设弦的中点为，则，点也在直线上，∴。

如果问题仅仅与弦中点和弦的斜率有关，而不涉及弦长，则可把弦的坐标，直接代入曲线方程，然后相减，因式分解，所得的式子中只有、、、，这些都与弦中点坐标和弦的斜率有关。（点差法）

（8）弦满足有关的向量的条件，如（为原点），则， ，，∴.

又如过椭圆的右焦点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。

特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！

例：（1）抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到轴的距离为 （答：2）；

（2）如果椭圆弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：）；

（3）已知直线y=－x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为 （答：）；

（1）双曲线的渐近线方程为；

（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，≠0）。

如（4）与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为 （答：）

（5）．经过双曲线的右焦点F₂作倾斜角为30°的弦AB，

（1）求|AB|

（2）求三角形的周长，（F₁是左焦点）

（6）．已知抛物线与直线y=k(x+1)相交于A、B两点

（1）求证：（2）当，求k的值。

（7）已知动直线与椭圆相交于、两点,已知点

， 求证：为定值.

解: 将代入中得

，

，所以

。

（8）过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。

四、关于圆锥曲线的最值

（1）圆锥曲线上的动点到一个定点的距离的最值。设动点的坐标，用两点间的距离公式表示距离，利用点的坐标满足圆锥曲线方程，消去（或消去），把表示成（或）的二次函数，因为（或）有一个取值范围（闭区间或半开半闭区间），所以问题转化为：求二次函数在闭区间上的最值。有时须针对二次函数的对称轴与闭区间的关系进行分类讨论。

（2）圆锥曲线上的动点到一条定直线的距离的最值。作圆锥曲线与定直线平行的切线，切点即为所求的点，切线与定直线的距离即为所求最值。

例：（1）椭圆x^2/3+y^2=1上的点到直线x-y+4=0的最短距离；

五、求动点的轨迹方程

（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；

注意：不重合的两条直线与，的法向量为：，方向向量为，∥且；

（2）求轨迹方程的常用方法：

①直接法：直接利用条件建立之间的关系；

(1)已知动点P到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P的轨迹方程．（答：或）；

②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。

（2）线段AB过x轴正半轴上一点M（m，0），端点A、B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A、O、B三点作抛物线，则此抛物线方程为 （答：）；　

③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；

(3)由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60⁰，则动点P的轨迹方程为 （答：）；

（4）点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是 （答：）；

(5) 一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为 （答：双曲线的一支）；

④代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程；

(6)动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为 （答：）；

（7）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点，使，求点的轨迹。（答：）；

（8）若点在圆上运动，则点的轨迹方程是 （答：）；

（9）过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是 （答：）；

（14全国卷）

20.（本小题满分12分）已知点（0，-2），椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.

20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设，由条件知，，得，

又，所以故的方程为………………………………………………5分

（Ⅱ）当轴时不合题意，故设，，将代入得

当，即时，从而又点到直线的距离，所以的面积

……………………9分

设，则，因为，当且仅当，即时等号成立，且满足所以当的面积最大时，的方程为

或……………………………12分

答案

一：1.C 2.双曲线的左支

3∵y=x^2/4 即x^2=4y∴焦点F为（0,1）准线：y=-1

过点P作PM⊥y=-1于M∴│PM│=│PF│

∴y+|PQ|=│PM│+|PQ|-1=│PF│+|PQ|-1

∵当F,P,Q三点共线时│PF│+|PQ|最小

（│PF│+|PQ|）min=√[（2√2）^2+1]=3

∴（y+|PQ|）min=（│PF│+|PQ|-1）min=3-1=2

4.）； 5.； 6.二：1. 3或

2.设焦点在x轴上,则椭圆上的一点和两个焦点为顶点的三角形,底边长为2c,面积最大时,底边上的高最大,即该动点必须位于椭圆与y轴的交点上,即此时高为b,即 2c*b/2=1,bc=1,c=1/b

而c^2= a^2-b^2 =(1/b)^2 即a^2= b^2 +(1/b)^2 ≥2

a≥√2 长轴2a≥2√2

3.（1）焦点在x轴上,渐近线y=±(b/a)x∴ b/a=3/4

∴ b=3t, a=4t ∴ c=5t ∴ e=c/a=5/4

（2）焦点在y轴上,渐近线y=±(a/b)x∴ a/b=3/4

∴ a=3t, b=4t ∴ c=5t ∴ e=c/a=5/3

4. 4或5. e=c/a∈[√2,2],

∴cos[(π-θ)/2]=a/c∈[1/2,1/√2], ∴(π-θ)/2∈[π/4,π/3],

∴π-θ∈[π/2,2π/3], ∴θ的取值范围是[π/3,π/2].

6. 7. 8. 7 9. （ ） 10. 三： 1、2 2.显然该抛物线焦点是（2,0）这个点在x=5上.解方程组x=5,y²=8x ,

则x=5,y=2√10.∴该点坐标为（5,2√10）.

用公式算得该点至抛物线距离为7.

2.设直线为y=kx+a,∵过（0,2）点,∴可得a=2

y=kx+2与x2/9-y2/16=1有且只有一个公共点

也就是方程组x2/9-y2/16=1；y=kx+2}只有一组解

将y=kx+2代入x2/9-y2/16=1得到：

(16-9k2)x2-18kx-180=0

就此讨论：

当16-9k2=0时,方程只有一组解,也就是k=±(4/3)时,方程

只有一组解

当16-9k2不等于0时,一元二次方程有且只有唯一解的条件

也就是b2-4ac=0,可以得到另一组k的值

3：∵椭圆，∴且，直线恒过定点，欲使其与椭圆恒有公共点，只需让落在椭圆内或者椭圆上，即：，∴，选C.

4. X^2 - Y^2/2 =1 c²=1+2=3 F(√3,0)

过F且垂直x轴的直线是x=√3 代入则y²=4 y=±2

所以此时AB=2-(-2)=4 所以这里有一条

且AB都在右支时其他的直线则AB都大于4 所以AB都在右支只有1条

直线L交双曲线于A,B两点,A、B分别在两支时, 顶点是(-1,0),(1,0)

顶点距离是2<4 所以也有两条,关于x轴对称 所以共有3条

1. 2 2. 3. 4. 5

6、（1）将y=k(x+1)代入y^2=-x, 设A（X1,y1）,B(X2,y2)

易得X1+X2=-(2k^2+1)/k^2,X1*X2=1

y1*y2=k^2(X1+1)(X2+1)=-1

0A斜率K1为y1/X1,0B斜率K2为y2/X2,

所以K1*K2=-1得证

（2）1/2(根x1^2+y1^2*根下x2^2+yx^2)=根10 （x1^2+y1^2）*（x2^2+yx^2）=40

x1^2x2^2+(x1^2+y2^2+x2^2y1^2)=40 2-(x1^2x2+x2^2x1)=40

x1x2(x1+x2)=-38 (2k^2+1)/-k^2=-38 k^2=1/36 k=-1/6

7、7、解: 将代入中得

，

，所以

。

8.设直线与椭圆的交点为、 为的中点 　　又、两点在椭圆上，则，两式相减得于是即，故所求直线的方程为，即。

四、 1.解：将直线L向椭圆方向平移至直线L’:x-y+c=0，使直线L’与椭圆恰好相切，切点为P，

把x=y-c代入椭圆方程x^2/3+y^2=1……（1）,

得 （y-c)^2/3+y^2=1

整理得：4y^2-2cy+c^2-3=0

由△=0得4c^2-4×4×(c^2-3)=0

c=±2

即直线L’方程为:x-y±2=0

方程为:x-y+2=0……（2） 符合题意

解（1）、（2）得P点坐标为（-3/2,1/2）。

∴点P到直线L:x-y+4=0的距离的最小值为：d=|-3/2-1/2+4|/√2=√2/2。

五、1. 或）；

2. 3. 4. 5.双曲线的一支

6. 7.

20.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设，由条件知，，得，

又，所以故的方程为………………………………………………5分

（Ⅱ）当轴时不合题意，故设，，将代入得

当，即时，从而又点到直线的距离，所以的面积

……………………9分

设，则，因为，当且仅当，即时等号成立，且满足所以当的面积最大时，的方程为

或……………………………12分

圆锥曲线定直线问题解题方法与技巧

第一、知识储备：

1. 直线方程的形式

（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。

（2）与直线相关的重要内容

①倾斜角与斜率

②点到直线的距离

（3）弦长公式

直线上两点间的距离：

或

（4）两条直线的位置关系

①=-1 ②

2、圆锥曲线方程及性质

(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）

标准方程：

距离式方程：

参数方程：

(2)、双曲线的方程的形式有两种

标准方程：

距离式方程：

(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？

如：已知是椭圆的两个焦点，平面内一个动点M满足则动点M的轨迹是（ ）

A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线

(5)、焦点三角形面积公式：

（其中）

(6)、记住焦半径公式：（1），可简记为“左加右减，上加下减”。

（2）

（3）

(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？

第二、方法储备

1、点差法（中点弦问题）

设、，为椭圆的弦中点则有

，；两式相减得

=

2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？

设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到两个式子，然后-，整体消元······，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为，就意味着k存在。

例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.

（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;

（2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.

分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为可得出AB⊥AC，从而得，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；

解：（1）设B（,）,C(,),BC中点为(),F(2,0)则有两式作差有 (1)

F(2,0)为三角形重心，所以由，得，由得，代入（1）得

直线BC的方程为2)由AB⊥AC得 （2）

设直线BC方程为，得，

代入（2）式得，解得或

直线过定点（0，，设D（x,y），则，即所以所求点D的轨迹方程是。

4、设而不求法

例2、如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围。

分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系，如图，若设C，代入，求得，进而求得再代入，建立目标函数，整理，此运算量可见是难上加难.我们对可采取设而不求的解题策略,

建立目标函数，整理,化繁为简.

解法一：如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则CD⊥轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称

依题意，记A，C，E，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得

，

设双曲线的方程为，则离心率

由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得

， ①

②

由①式得 ， ③

将③式代入②式，整理得

，

故

由题设得，

解得

所以双曲线的离心率的取值范围为

分析：考虑为焦半径,可用焦半径公式,用的横坐标表示，回避的计算, 达到设而不求的解题策略．

解法二：建系同解法一，，

，又，代入整理，由题设得，

解得

所以双曲线的离心率的取值范围为

5、判别式法

例3已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标。

分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发，可设计如下解题思路：

解题过程略.

分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：

简解：设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为：

于是，问题即可转化为如上关于的方程.

由于，所以，从而有

于是关于的方程

由可知：

方程的二根同正，故恒成立，于是等价于

.

由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得 .

点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.

例4已知椭圆C:和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.

分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.

由于点的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率作为参数，如何将与联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到，要建立与的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.

通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.

在得到之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于的方程（不含k），则可由解得，直接代入即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。

简解：设，则由可得：，

解之得： （1）

设直线AB的方程为：，代入椭圆C的方程，消去得出关于 x的一元二次方程：

（2）

∴

代入（1），化简得： (3)

与联立，消去得：

在（2）中，由，解得，结合（3）可求得

故知点Q的轨迹方程为： （）.

点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.

6、求根公式法

例5设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.

分析：本题中，绝大多数同学不难得到： =，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.

分析1: 从第一条想法入手， =已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.

简解1：当直线垂直于x轴时，可求得;

当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得

解之得

因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.

当时，，，

所以===.

由 , 解得，

所以 ，

综上 .

分析2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.

简解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得

（*）

则

令，则，

在（*）中，由判别式可得，

从而有 ，所以 ，解得 .

结合得.

综上，.

点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.

解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.

第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。

例6椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由。

思维流程：

（Ⅰ）

（Ⅱ）

消元

解题过程：

（Ⅰ）如图建系，设椭圆方程为,则

又∵即 ，∴

故椭圆方程为

（Ⅱ）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则

设，∵，故，

于是设直线为 ，由得，

∵ 又

得 即

由韦达定理得

解得或（舍） 经检验符合条件．

点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零．

例7、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．

（Ⅰ）求椭圆的方程：

（Ⅱ）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当Δ内切圆的面积最大时，求Δ内心的坐标；

思维流程：

（Ⅰ）

（Ⅱ）

解题过程： （Ⅰ）设椭圆方程为，将、、代入椭圆E的方程，得

解得.∴椭圆的方程 ．

（Ⅱ），设Δ边上的高为

当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以的最大值为．

设Δ的内切圆的半径为，因为Δ的周长为定值6．所以，

所以的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为.

点石成金：

例8、已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.

（Ⅰ）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；

（Ⅱ）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

思维流程：

（Ⅰ）解：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，

将代入， 消去整理得

设

则

由线段中点的横坐标是， 得，解得，符合题意。

所以直线的方程为，或.

（Ⅱ）解：假设在轴上存在点，使为常数.

当直线与轴不垂直时，由（Ⅰ）知

所以

将代入，整理得

注意到是与无关的常数， 从而有， 此时

当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为，当时， 亦有

综上，在轴上存在定点，使为常数.

点石成金：

例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m（m≠0），交椭圆于A、B两个不同点。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求m的取值范围；

（Ⅲ）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

思维流程：

解：（1）设椭圆方程为

则 ∴椭圆方程为

（Ⅱ）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m

又K_OM=

由

∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，

（Ⅲ）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁+k₂=0即可

设

则

由

而

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

点石成金：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形

例10、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是

（1）求双曲线的方程；

（2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

思维流程：

解：∵（1）原点到直线AB：的距离.

故所求双曲线方程为

（2）把中消去y，整理得.

设的中点是，则

即

故所求k=±.

点石成金: C，D都在以B为圆心的圆上BC=BDBE⊥CD;

例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（II）若直线y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

思维流程：

解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，

由已知得：，

椭圆的标准方程为．

（II）设．

联立

得 ，则

又．

因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，

，即. ．

． ．

解得：，且均满足．

当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；

当时，的方程为，直线过定点．

所以，直线过定点，定点坐标为．

点石成金：以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点CA⊥CB;

例12、已知双曲线的左右两个焦点分别为,点P在双曲线右支上.

（Ⅰ）若当点P的坐标为时, ,求双曲线的方程；

（Ⅱ）若,求双曲线离心率的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.

思维流程：

解：（Ⅰ）(法一)由题意知, , ,

, （1分）

解得. 由双曲线定义得:

,

所求双曲线的方程为:

(法二) 因,由斜率之积为,可得解.

（Ⅱ）设,

(法一)设P的坐标为, 由焦半径公式得, ,，

的最大值为2,无最小值. 此时,

此时双曲线的渐进线方程为

(法二)设,.

(1)当时, ,

此时.

(2)当,由余弦定理得:

,

, ,综上,的最大值为2,但无最小值. (以下法一)

圆锥曲线中定点问题4个模型

一、直线过定点问题

过定点模型：是圆锥曲线上的两动点，是一定点，其中分别为的倾斜角，则有下面的结论：

、为定值直线恒过定点；

、为定值直线恒过定点；

、直线恒过定点.

方法：要证明直线过定点，只需要找到与之间的关系即可.

确定定点，可以证明任意两个斜率相等即可.

二、定值问题

基本思路：转化为与两点相关的斜率与的关系式的关系式

代数式形式的定值(多个参数)

结论：①若代数式表达式结果为分式，且为定值，则系数对应成比例；

形如，若，则该式为定值，与无关；（注意是变量，具有任意性，是主元）

②若代数式表达式结果为整式，则无关参数的系数为0.

例如：，当即时，该式为定值与无关. （注意是变量，具有任意性，是主元）

三、椭圆经典结论

1、 过椭圆 (上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于两点，则直线有定向且（常数）.（求偏导可得到）（类似结论适合于双曲线，抛物线）

2、 设椭圆（）的两个焦点为（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在中，记, ,，则有.

3. 椭圆与直线有公共点的充要条件是4. 已知椭圆（），为坐标原点，为椭圆上两动点，且.（对原点张直角）

1）; 2）的最大值为; 3）的最小值是.

4）直线PQ必经过一个定点； 5）点到直线的距离为定值：.

5 . 过椭圆（）的右焦点作直线交椭圆于两点，弦的垂直平分线交轴于，则.

类比．过双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.

6．设椭圆（a＞b＞0）,M（m，0）或（0，m）为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线A₁P、A₂Q（A_{1 ,}A₂为对称轴上的两顶点）的交点N在直线：（或）上.（用极点与极线直接写出来）

7、椭圆中的过定点模型：是椭圆上异于的两动点，其中分别为 的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：（手电筒模型）

直线恒过定点

类比．给定双曲线C：,

对C上任意给定的点,它的任一直角弦必须经过定点（.

8、 抛物线中的过定点模型：是抛物线上异于的两动点，其中分别为的倾斜角，则可以得到下面充要的结论：（手电筒模型）

直线恒过定点 特别地 直线恒过定点.

9、设点是椭圆（）上异于长轴端点的任一点, 为其焦点记，

则 (1). (2) .

（双曲线(a>0,b>0)中,,其中θ=∠F₁PF₂.）

10.椭圆的参数方程是，椭圆上的动点可设对于抛物线上的动点的坐标可设为，（抛物线独有的一点两设）以简化计算.

双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为渐近线方程：.

(2)若渐近线方程为双曲线可设为.

(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）

(4).双曲线焦点到渐近线的距离总是.顶点到渐近线的距离为(5). 双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.

抛物线常用

设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则

1. 2.

3. 4. 5 .

圆锥曲线的切线问题（用极点与极线直接写出来）（证明需要求偏导）

1.过圆C:(x-a)²+(y-b)²=R²上一点P(x₀,y₀)的切线方程为(x₀-a)(x-a)+(y₀-b)(y-b)=R².

2. 若在椭圆上，则以为切点的切线的椭圆的切线方程是.

3.若在双曲（a＞0，b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.

4.已知点M(x₀,y₀)在抛物线C:y²=2px(p≠0)上时，M为切点的切线l:y₀y=p(x+x₀).

（切点弦结论完全相同，用极点与极线直接写出来）

圆锥曲线的中点弦问题(点差法)（广义的垂径定理）（也适合于相切情况）

AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则=e²-1，即。

AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则=e²-1， 即。

（上面是焦点在X轴上）（焦点在Y轴上取倒数）

圆锥曲线定点问题大全

结论序号	曲线类型	曲线方程	曲线上定点	分别是直线的斜率，是曲线上异于点的两点	证明直线恒过定点或直线的斜率为定值
结论1	椭圆
结论2	双曲线
结论3	抛物线

圆锥曲线知识点归纳总结大全

一、椭圆方程.

1. 椭圆方程的第一定义：

⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点,焦点在x轴上：.

ii. 中心在原点,焦点在轴上：.

②一般方程：.

③椭圆的标准方程：的参数方程为〔一象限应是属于〕.

⑵①顶点：或.

②轴：对称轴：x轴,轴；长轴长,短轴长.

③焦点：或.

④焦距：.

⑤准线：或.

⑥离心率：.

⑦焦点半径：

i. 设为椭圆上的一点,为左、右焦点,则

ii.设为椭圆上的一点,为上、下焦点,则

由椭圆第二定义可知：归结起来为"左加右减".

注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆.

⑧通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和

⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是,方程是大于0的参数,的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.

⑸若P是椭圆：上的点.为焦点,若,则的面积为〔用余弦定理与可得〕. 若是双曲线,则面积为.

二、双曲线方程.

1. 双曲线的第一定义：

⑴①双曲线标准方程：.

一般方程：.

⑵①i. 焦点在x轴上：

顶点： 焦点： 准线方程 渐近线方程：或

ii. 焦点在轴上：

顶点：. 焦点：.准线方程：. 渐近线方程：或,参数方程：或 .

②轴为对称轴,实轴长为2a, 虚轴长为2b,焦距2c.

③离心率.

④准线距〔两准线的距离〕；通径.

⑤参数关系.

⑥焦点半径公式：对于双曲线方程

〔分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点〕

"长加短减"原则：〔与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号〕

构成满足

⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率.

⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线：.

⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时,它的双曲线方程可设为.

例如：若双曲线一条渐近线为且过,求双曲线的方程？

解：令双曲线的方程为：,代入得.

⑹直线与双曲线的位置关系：

区域①：无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条；

区域②：即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计3条；

区域③：2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条；

区域④：即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条；

区域⑤：即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.

小结：1.过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

2.若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.

⑺若P在双曲线,则常用结论

1：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.

2：P到焦点的距离为m = n,则P到两准线的距离比为m︰n.简证： = .

三、抛物线方程.

3. 设,抛物线的标准方程、类型与其几何性质：

图形
焦点
准线
范围
对称轴	轴		轴
顶点	〔0,0〕
离心率
焦点

注：①顶点.

②则焦点半径;则焦点半径为.

③通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.

④〔或〕的参数方程为〔或〕〔为参数〕.

四、圆锥曲线的统一定义..

4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点F和定直线的距离之比为常数的点的轨迹.

当时,轨迹为椭圆；当时,轨迹为抛物线；当时,轨迹为双曲线；当时,轨迹为圆〔,当时〕.

5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性,所以欲证AB=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.

注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

		椭圆	双曲线	抛物线
定义		1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a<2a>|F1F2|>的点的轨迹	1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a<0<2a<|F1F2|>的点的轨迹
		2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.〔0	2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.〔e>1〕	与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
方 程	标准方程	<>0>	0,b>0>	y2=2px
	参数方程
范围		─a≤x≤a,─b≤y≤b	|x| ≥ a,y∈R	x≥0
中心		原点O〔0,0〕	原点O〔0,0〕
顶点		, <─a,0>, <0,b> , <0,─b>	, <─a,0>	<0,0>
对称轴		x轴,y轴；长轴长2a,短轴长2b	x轴,y轴;实轴长2a, 虚轴长2b.	x轴
焦点		F1, F2<─c,0>	F1, F2<─c,0>
焦距		2c 〔c=〕	2c 〔c=〕
离心率				e=1
准线		x=	x=
渐近线			y=±x
焦半径
通径				2p
焦参数				P

1.方程y²=ax与x²=ay的焦点坐标与准线方程.

2.共渐近线的双曲线系方程.

以上是圆锥曲线背景下定值的探索（原卷版）的相关内容，希望对你有所帮助。另外，今天的内容就分享到这里了，想要了解更多的朋友可以多多关注本站。