在初中数学中，圆是一个非常重要的几何图形。掌握圆的相关知识点不仅有助于我们解决数学问题，还能够帮助我们更好地理解周围的事物。因此，本文将对初中圆的知识点总结，以帮助读者更好地掌握这一内容。
1、圆的概念：到一点O距离相等的所有点构成了一个圆；点O叫做圆心；圆上任一点到圆心间的线段叫做半径。
2、连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径。直径等于半径的两倍。
3、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；大于半圆的弧是优弧，小于半圆的弧叫劣弧。
4、能够重合的两个圆叫做等圆，或半径相等的两个圆是等圆；能够互相重合的弧叫等弧；弧展开成直线后的长度，是弧长；等弧一定等弧长，等弧长的两段弧不一定是等弧，等弧长且半径相等的两段弧是等弧。
5、顶点在圆心上的角是圆心角；顶点在圆上，并且两边与圆相交的角是圆周角；顶点在圆外，并且两边与圆相交的角是圆外角；顶点在圆内，的角是圆内角。圆心角是特殊的圆内角。
6、和圆没有公共点的直线与圆相离；和圆有两个公共点的直线与圆相交，这条直线叫做圆的割线；和圆只有一个公共点的直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点；经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做切线长。(切线和弦的夹角叫弦切角)
7、如果两个圆没有公共点，就说这两个圆相离，包括外离和内含两种情况；两个圆有相同的圆心，就称它们是同心圆；同心圆是内含的特例。如果两个圆只有一个公共眯，就说这两个相切，有外切和内切两种情况。如果两个圆有两个公共点，就说它们相交。
8、多边形的顶点都在一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。三角形的外接圆的圆心叫做外心。与多边形的各边都相切的圆叫做这个多边形的内切圆；三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心。
多边形不一定有外接圆或内切圆；正多边形和三角形一定有外接圆和内切圆。
9、各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，正三角形的中心，也是它的外心；外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
10、由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。
11、连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
12、与圆有关的其它几何概念：圆柱、圆锥、圆台、球体等。
13、先假设结论不成立，由此推出与假设矛盾，从而原命题成立的方法，叫做反证法。
1、圆的定义
(1)动态的概念：在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，
另一个端点A随之旋转所形成的图形叫作圆，固定的端点O
叫作圆心，线段OA叫作半径。
(2)静态的概念：平面上到定点O的距离等于定长r的所有点组成的图形叫作圆
2、圆的几何表示
以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”
3、弦
连接圆上任意两点的线段叫作弦。
4、直径
经过圆心的弦叫作直径，直径也是圆中最长的弦。
直径等于半径的2倍。
直径是弦，弦不一定是直径。
5、半圆
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫作半圆。
6、弧、优弧、劣弧
圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“ ”，读作"圆弧AB"或"弧AB"。
大于半圆的弧叫作优弧（多用三个字母表示）；
小于半圆的弧叫作劣弧（多用两个字母表示）
7、等圆、等弧
(1)等圆：能够完全重合的两个圆，叫作等圆。半径相等的两个圆就是等圆。
(2)等弧：在同圆或等圆中，能够完成重合的两条弧叫作等弧。
1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；圆是中心对称图形；圆是任意角度的旋转对称图形；圆心是对称中心。
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧（也平分弦所对的圆心角）。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（也平分弦所对的圆心角）。
平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦，也平分弦所对的圆心角。
3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；
推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，它们所对的圆心角和弦都相等；(等弧对等弦也对等角)；
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（等弧也成立）
推论：同弧或等弧所对圆周角相等；
在同圆或等圆中，两个相等的圆周角所对的弧和弦分别相等；
在同圆或等圆中，条相等的弦所对的两个圆周角(钝角和锐角)分别相等。
半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90度的圆周角所对的弦是直径，弧是半圆。
5、圆内接四边形对角互补。对角互补的四边形有外接圆。
6、不在同一直线上的三个点确定一个圆；三角形的三个顶点确定一个圆。
7、切线的判定定理：经过半径(直径)的外端并垂直于这条半径(直径)的直线是圆的切线。
8、切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径（直径）。
9、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。（也平分丙边分别过两个切点的圆心角，还平分这个圆心角所对的弧和弦）。
补充：（以前教科书上有的）
10、弦切角定理：弦切角的等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。
11、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
垂径定理及其推论
(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
(2)垂径定理及其推论可概括为:
直径：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧。要学会知二推三。
(当以①③为题设时，“弦”不能是直径。）
1、设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则
点在圆外等阶于d>r；
点在圆上等阶于d=r；
点在圆内等阶于d 2、设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则 直线与圆相离等阶于d>r； 直线与圆相切等阶于d=r； 直线与圆相交等阶于d 3、设两圆的半径分别为R, r(R>r)，圆心距为d，则 两圆外离等阶于d>R+r； 两圆外切等阶于d=R+r； 两圆相交等阶于R-r 两圆内切等阶于d=R-r； 两圆内含等阶于d 当d=0时，两圆是同心圆。 4、同圆或等圆中，同弦一侧的圆外角<圆周角<圆内角。 5、圆心角相同时，半径越长，弧越长，扇形面积越大；半径相等时，圆心角越大，弧越长，扇形面积越大。 6、三角形的外心是三边的垂直平分线的交点；内心是三角的平分线的交点；作图时，都只需要画两条就可以了。 7、圆内接正三角形中的比例关系：边长:R:r=2根号3:2:1; 圆内接正方形中的比例关系：边长:R:r=2根号2:根号2:1; 圆内接六边形中的比例关系：边长:R:r=1:1:根号3 /2。 8、点到圆的最大距离过圆心。 点到圆的最小距离在过点和圆心的直线上。 圆心角 (1)圆心角：顶点在圆心，另外两边和圆相交的角，叫作圆心角。 (2)在同圆或等圆中，以下内容可“知一推二” 圆心角相等、弧相等、弦相等、弦心距相等 圆周角 1、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角。 2、圆周角定理 (1)同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 (2)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 (3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。 3、圆内接四边形 (1)圆内接四边形：是在同圆内，四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形。 (2)圆内接四边形性质： ①圆内接四边形对角互补。 ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。 公式：(n是圆心角,R圆半径,r底面半径,l弧长或母线) 1、弧长l=nπR/180; 2、S扇形=nπR^2/360; S扇形=lR/2. 3、圆锥侧面积=底面周长×母线/2, S侧=πrl； S侧=nπl^2/360. 4、圆锥全面积=侧面积+底面积 S全=S侧+S底=πrl+πr^2=πr(r+l). 5、内接多边形的面积=周长×边心距/2. 圆的对称性 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 常见重点题型 1．如图，在⊙O中，点B在⊙O上，四边形AOCB是矩形，对角线AC的长为5，则⊙O的半径长为 ． 2．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为 3．如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，∠A＝63°，则∠B的度数为 ． 4．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M.若AB＝12，OM∶MD＝5∶8，则⊙O的周长为 ． 5．点P到⊙O上各点的最大距离为10 cm，最小距离为8 cm，则⊙O的半径为 ． 6．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差 为 米． 7．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2米，净高5米，则圆拱形门所在圆的半径是 ． 8.如图,在⊙O中,直径AB⊥弦CD于点M,AM=18,BM=8,则CD的长为________. 9.已知：如图，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，那么拱形的半径是 cm. 10.如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为 ． 11．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = ． 12．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝48°，D为⊙O上一点，则∠ADC的度数是 圆的定义： （1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 （2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。 圆心： （1）如定义（1）中，该定点为圆心 （2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。 （3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。 （4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。 注：圆心一般用字母O表示 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。 圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。 圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。 圆的周长与直径的比值叫做圆周率。圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。 直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。 圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2，用字母S表示。 一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。 1、已知：弦AB把圆周分成1：5的两部分，这弦AB所对应的圆心角的度数为________。 2、已知：⊙O中的半径为4cm，弦AB所对的劣弧为圆的1/3，则弦AB的长为_______cm， AB的弦心距为_____cm。 3、如图，在⊙O中，AB∥CD，⌒AC的度数为450，则∠COD的度数为_______。 4、如图，在三角形ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三边所得的弦长相等，则 ∠BOC=（ ）。 A．140° B．135° C．130° D．125° 5、下列语句中，正确的有（ ） (1)相等的圆心角所对的弧相等； (2)平分弦的直径垂直于弦； (3)长度相等的两条弧是等弧； (4) 圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6、已知：在直径是10的⊙O中，⌒AB的度数是60°，求弦AB的弦心距。 7、已知：如图，⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB， 求证：⌒AB=2⌒AE 8、已知：AB交圆O于C、D，且AC＝BD.你认为OA＝OB吗？为什么？ 9、如图所示，是一个直径为650mm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm，求油面的最大深度。 11.如图所示，AB是圆O的直径，以OA为直径的圆C与圆O的弦AD相交于点E。你认为图中有哪些相等的线段？为什么？ 答案 1.60度 2.4√3 1 3.90度 4.D 5.A 6.2.5 7.提示：连接OE，求出角COE的度数为60度即可 8.略 9.100毫米 10.AC=OC，OA=OB，AE=ED 周长计算公式 1.、已知直径：C=πd 2、已知半径：C=2πr 3、已知周长：D=c\π 4、圆周长的一半:1\2周长(曲线) 5、半圆的长：1\2周长+直径 面积计算公式： 1、已知半径：S=πr平方 2、已知直径：S=π（d\2）平方 3、已知周长：S=π(c\2π)平方 点、直线、圆和圆的位置关系 1、点和圆的位置关系 ①点在圆内<=>点到圆心的距离小于半径 ②点在圆上<=>点到圆心的距离等于半径 ③点在圆外<=>点到圆心的距离大于半径 2.过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。 3.外接圆和外心经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。 4.直线和圆的位置关系 相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。 相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。 相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。 5.直线和圆位置关系的性质和判定 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么 ①直线l和⊙O相交<=>d ②直线l和⊙O相切<=>d=r； ③直线l和⊙O相离<=>d>r。 圆的概念 集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 点与圆的位置关系 1、点在圆内 点在圆内； 2、点在圆上 点在圆上； 3、点在圆外 点在圆外； 直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点； 2、直线与圆相切 有一个交点； 3、直线与圆相交 有两个交点； 圆与圆的位置关系 外离（图1） 无交点 ； 外切（图2） 有一个交点 ； 相交（图3） 有两个交点 ； 内切（图4） 有一个交点 ； 内含（图5） 无交点 ； 圆和圆定义： 两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆的外离。 两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做两个圆的外切。 两个圆有两个交点，叫做两个圆的相交。 两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做两个圆的内切。 两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆的内含。 原理：圆心距和半径的数量关系： 两圆外离<=>d＞R+r两圆外切<=>d=R+r两圆相交<=>R-r 两圆内切<=>d=R-r(R>r)两圆内含<=>d 垂径定理 垂径定理：垂直于某某的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于某某，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙中，∵∥ ∴弧弧 圆心角定理 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①；②； ③；④ 弧弧 圆周角定理 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角 ∴ 2、圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧； 即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角 ∴ 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 即：在⊙中，∵是直径 或∵ ∴ ∴是直径 推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 即：在△中，∵ ∴△是直角三角形或 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 正多边形和圆 1、正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2、正多边形与圆的关系： (1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。 (2)这个圆是这个正多边形的外接圆。 3、正多边形的有关概念： (1)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心。 (2)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径。 (3)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离。 (4)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。 4、正多边形性质： (1)任何正多边形都有一个外接圆。 (2)正多边形都是轴对称图形，当边数是偶数时，它又是中心对称图形，正n边形的对称轴有n条。(3)边数相同的正多边形相似。 通过对初中圆的知识点总结，我们可以更好地理解圆这一几何图形，并且在数学学习中更加得心应手。希望本文对读者有所帮助，让大家在学习数学的过程中更加轻松愉快。初中圆的知识点总结6
初中圆的知识点总结7
初中圆的知识点总结8
初中圆的知识点总结9
初中圆的知识点总结10
初中圆的知识点总结11
初中圆的知识点总结12
初中圆的知识点总结13
初中圆的知识点总结14
初中圆的知识点总结15