初中数学方程式公式大全及各类测试题完整版

初中数学方程式公式大全的总结归纳可以帮助学生掌握和应用数学方程式，进而提高他们的数学解题能力。方程式是数学中重要的工具，它们描述了数学关系和规律，并且可以用来解决各种实际问题。以下是“初中数学方程式公式大全及各类测试题完整版下载”的内容，可供有需要的朋友来此阅读和参考。

文章目录

初中数学方程式公式大全

初中数学方程式解法大全

初中数学方程专项练习题含解析

初中数学方程应用题专项练习

初中数学方程综合练习题

初中数学方程式公式大全

乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)

三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理

判别式

b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根

b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根

b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根

三角函数公式

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式

sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标

圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h

正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2

圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r

锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长

柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h

初中数学方程式解法大全

知识点1：

一元一次方程

只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的整式方程，叫做一元一次方程．

一元一次方程的标准形式是：ax＋b=0(其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）．

一元一次方程的最简形式是：ax=b(a≠0)．

不定方程: 一个代数方程，含有两个或两个以上未知数时，叫做不定方程，不定方程一般有无穷多解。

代数方程: 代数方程通常指整式方程。有时也泛指方程两边都是代数式的情形，因而也包括分式方程和无理方程。

等式: 用符号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式．在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．性质：两边同加同减一个数或等式仍为等式; 两边同乘同除一个数或等式（除数不能是0）仍为等式。

方程的根：只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根。

解一元一次方程的一般步骤：1．去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；

2．去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；

3．移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；

4．合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0）的形式；

5．系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解。

矛盾方程：一个方程，如果不存在使其左边与右边的值相等的未知数的值，这样的方程叫矛盾方程．

知识点2：

二元一次方程

有两个未知数并且未知项的次数是1，这样的方程，叫做二元一次方程．

二元一次方程组：含有相同的两个未知数的两个一次方程所组成的方程组，叫做二元一次方程组．

解：使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．

二元一次方程组的两种解法：

（1）代入消元法，简称代入法．

①把方程组里的任何一个未知数化成用另一个未知数的代数式表示．

②把这个代数式代入另一个方程里，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．

③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值．

④把求得两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解．

2）加减消元法，简称加减法．

①把一个方程或两个方程的两边都乘以适当的数，使同一个未知数的系数的绝对值相等．

②把所得的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．

③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值．

④把求得的两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解．

二元一次方程组解的情况：

知识点3：

一元一次不等式（组）：

不等号有＞、≥、＜、≤或≠等等．用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．

只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式．如

axb(a≠0)

几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组

不等式基本性质：

(1)不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．

(2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

(3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

一元一次不等式的解法步骤：(1)去分母 (2)去括号 (3)移项 (4)合并同类项 (5)系数化成1

(如果乘数和除数是负数，要把不等号改变方向)

一元一次不等式组的解法步骤： (1)分别求出不等式组中所有一元一次不等式的解集．

（2)在数轴上表示各个不等式的解集．(3)写出不等式组的解集．

一元一次不等式组的四种情况：

知识点4

一元二次方程

基本概念：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．

一元二次方程3x2+5x-2=0的常数项是-2（任意）.一次项系数为5（任意），二次项是3（任意不为0）.

一元二次方程的求根公式：

一元二次方程的解法：

1．解一元二次方程的直接开平方法

如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，则根据平方根的概念可以用直接开平方法来解．

2．解一元二次方程的配方法

先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，可通过直接开平方法来求方程的解，也就是先配方再求解．

3．解一元二次方程的公式法

利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

4．解一元二次方程的因式分解法

在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，可先将一边分解成两个一次因式的积，再分别令每个因式为零，通过解一元一次方程，可求得原方程的解．

一元二次方程的解

1．方程的根为 .

A．x=2 B．x=-2 C．x1=2,x2=-2 D．x=4

2．方程x2-1=0的两根为 .

A．x=1 B．x=-1 C．x1=1,x2=-1 D．x=2

3．方程（x-3）（x+4）=0的两根为 .

A.x1=-3,x2=4 B.x1=-3,x2=-4 C.x1=3,x2=4 D.x1=3,x2=-4

4．方程x(x-2)=0的两根为 .

A．x1=0,x2=2 B．x1=1,x2=2 C．x1=0,x2=-2 D．x1=1,x2=-2

5．方程x2-9=0的两根为 .

A．x=3 B．x=-3 C．x1=3,x2=-3 D．x1=+,x2=-方程解的情况及换元法

1．一元二次方程的根的情况是 .

A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根 D.没有实数根

2．不解方程,判别方程3x2-5x+3=0的根的情况是 .

A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根 D. 没有实数根

3．不解方程,判别方程3x2+4x+2=0的根的情况是 .

A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根 D. 没有实数根

4．不解方程,判别方程4x2+4x-1=0的根的情况是 .

A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根 D.没有实数根

5．不解方程,判别方程5x2-7x+5=0的根的情况是 .

A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根 D. 没有实数根

6．不解方程,判别方程5x2+7x=-5的根的情况是 .

A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根 D. 没有实数根

7．不解方程,判别方程x²+4x+2=0的根的情况是 .

A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根 D. 没有实数根

8. 不解方程,判断方程5y+1=2y的根的情况是

A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根 D. 没有实数根

9. 用 换 元 法 解方 程 时, 令 = y,于是原方程变为 .

A.y-5y+4=0 B.y-5y-4=0 C.y-4y-5=0 D.y+4y-5=0

10. 用换元法解方程时,令= y ,于是原方程变为 .

A.5y-4y+1=0 B.5y-4y-1=0 C.-5y-4y-1=0 D. -5y-4y-1=0

11. 用换元法解方程()²-5()+6=0时，设=y，则原方程化为关于y的方程是 .

A.y²+5y+6=0 B.y²-5y+6=0 C.y²+5y-6=0 D.y²-5y-6=0

知识点5：直角坐标系与点的位置

1．直角坐标系中，点A（3，0）在y轴上。

2．直角坐标系中，x轴上的任意点的横坐标为0.

3．直角坐标系中，点A（1，1）在第一象限.

4．直角坐标系中，点A（-2，3）在第四象限.

5．直角坐标系中，点A（-2，1）在第二象限.

知识点6：基本函数的概念及性质

1．函数y=-8x是一次函数.

2．函数y=4x+1是正比例函数.

3．函数是反比例函数.

4．抛物线y=-3(x-2)²-5的开口向下.

5．抛物线y=4(x-3)²-10的对称轴是x=3.

6．抛物线的顶点坐标是(1,2).

7．反比例函数的图象在第一、三象限

练习

. 1．下列函数中,正比例函数是 .

A. y=-8x B.y=-8x+1 C.y=8x²+1 D.y=2．下列函数中,反比例函数是 .

A. y=8x² B.y=8x+1 C.y=-8x D.y=-3．下列函数：①y=8x²；②y=8x+1；③y=-8x；④y=-.其中,一次函数有 个 .

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

知识点7：自变量的取值范围

1．函数中，自变量x的取值范围是 .

A.x≠2 B.x≤-2 C.x≥-2 D.x≠-2

2．函数y=的自变量的取值范围是 .

A.x>3 B. x≥3 C. x≠3 D. x为任意实数

3．函数y=的自变量的取值范围是 .

A.x≥-1 B. x>-1 C. x≠1 D. x≠-1

4．函数y=的自变量的取值范围是 .

A.x≥1 B.x≤1 C.x≠1 D.x为任意实数

5．函数y=的自变量的取值范围是 .

A.x>5 B.x≥5 C.x≠5 D.x为任意实数

知识点8：函数图像问题

1．已知：关于x的一元二次方程的一个根为，且二次函数的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标是 .

A. (2，-3) B. (2，1) C. (2，3) D. (3，2)

2．若抛物线的解析式为y=2(x-3)²+2,则它的顶点坐标是 .

A.(-3,2) B.(-3,-2) C.(3,2) D.(3,-2)

3．一次函数y=x+1的图象在 .

A.第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限

C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限

4．函数y=2x+1的图象不经过 .

A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5．反比例函数y=的图象在 .

A.第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限

6．反比例函数y=-的图象不经过 .

A第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限

7．若抛物线的解析式为y=2(x-3)²+2,则它的顶点坐标是 .

A.(-3,2) B.(-3,-2) C.(3,2) D.(3,-2)

8．一次函数y=-x+1的图象在 .

A．第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限

C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限

9．一次函数y=-2x+1的图象经过 .

A．第一、二、三象限 B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限 D.第一、二、四象限

10. 已知抛物线y=ax²+bx+c（a>0且a、b、c为常数）的对称轴为x=1，且函数图象上有三点A(-1,y₁)、B(,y₂)、C(2,y₃)，则y₁、y₂、y₃的大小关系是 .

A.y₃12 B. y₂31 C. y₃21 D. y₁32

知识点9：基本函数图像与性质

1．若点A(-1,y₁)、B(-,y₂)、C(,y₃)在反比例函数y=(k<0)的图象上，则下列各式中不正确的是 .

A.y₃12 B.y₂+y₃<0 C.y₁+y₃<0 D.y₁•y₃•y₂<0

2．在反比例函数y=的图象上有两点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),若x₂<01 ,y₁2,则m的取值范围是 .

A.m>2 B.m<2 C.m<0 D.m>0

3．已知:如图,过原点O的直线交反比例函数y= 的图象于A、B两点,AC⊥x轴,AD⊥y轴,△ABC的面积为S,则 .

A.S=2 B.24

4．已知点(x₁,y₁)、(x₂,y₂)在反比例函数y=-的图象上, 下列的说法中:

①图象在第二、四象限;②y随x的增大而增大;③当012时, y₁2;④点(-x₁,-y₁) 、(-x₂,-y₂)也一定在此反比例函数的图象上,其中正确的有 个.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

5．若反比例函数的图象与直线y=-x+2有两个不同的交点A、B，且∠AOB<90º，则k的取值范围必是 .

A. k>1 B. k<1 C. 0

6．若点(，)是反比例函数的图象上一点，则此函数图象与直线y=-x+b（|b|<2）的交点的个数为 .

A.0 B.1 C.2 D.4

7．已知直线与双曲线交于A（x₁，y₁）,B（x₂，y₂）两点,则x₁·x₂的值 .

A.与k有关，与b无关 B.与k无关，与b有关

C.与k、b都有关 D.与k、b都无关

知识点10：因式分解

1.分解因式：x²-x-4y²+2y= .

2.分解因式：x³-xy²+2xy-x= .

3.分解因式：x²-bx-a²+ab= .

4.分解因式：x²-4y²-3x+6y= .

5.分解因式：-x³-2x²-x+4xy²= .

6.分解因式：9a²-4b²-6a+1= .

7.分解因式：x²-ax-y²+ay= .

8.分解因式：x³-y³-x²y+xy²= .

9.分解因式：4a²-b²-4a+1=

初中数学方程专项练习题含解析

一、选择题

1．若关于x的一元二次方程kx²﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0

2．已知x=﹣1是一元二次方程x²+mx﹣5=0的一个解，则方程的另一个解是（　　）

A．1 B．﹣5 C．5 D．﹣4

3．小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠子”．小刚却说：“只要把你的给我，我就有10颗”，如果设小刚的弹珠数为x颗，小龙的弹珠数为y颗，则列出的方程组正确的是（　　）

A． B．

C． D．

5．已知是二元一次方程组的解，则a﹣b的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．2 D．3

6．一元二次方程5x²﹣2x=0的解是（　　）

A．x₁=0，x₂= B．x₁=0，x₂= C．x₁=0，x₂= D．x₁=0，x₂=

7．一元一次方程的解是（　　）

A． B．x=﹣1 C．x=1 D．x=﹣2

8．已知a，b是关于x的一元二次方程x²+nx﹣1=0的两实数根，则式子的值是（　　）

A．n²+2 B．﹣n²+2 C．n²﹣2 D．﹣n²﹣2

9．已知方程|x|=2，那么方程的解是（　　）

A．x=2 B．x=﹣2 C．x₁=2，x₂=﹣2 D．x=4

10．设α，β是方程x²+9x+1=0的两根，则（α²+2009α+1）（β²+2009β+1）的值是（　　）

A．0 B．1 C．2000 D．4 000 000

11．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（　　）

A． B．

C． D．

12．阅读材料：设一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁，x₂，则两根与方程系数之间有如下关系：x₁+x₂=﹣，x₁•x₂=．根据该材料填空：已知x₁，x₂是方程x²+6x+3=0的两实数根，则+的值为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

13．右边给出的是2004年3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（　　）

A．69 B．54 C．27 D．40

14．方程（x﹣1）（x+2）=2（x+2）的根是（　　）

A．1，﹣2 B．3，﹣2 C．0，﹣2 D．1

15．方程x²﹣2x=0的解是（　　）

A．x=2 B．x=0 C．x₁=0，x₂=﹣2 D．x₁=0，x₂=2

16．服装店同时销售两种商品，销售价都是100元，结果一种赔了20%，另一种赚了20%，那么在这次销售中，该服装店（　　）

A．总体上是赚了 B．总体上是赔了

C．总体上不赔不赚 D．没法判断是赚了还是赔了

17．解分式方程，可知方程（　　）

A．解为x=2 B．解为x=4 C．解为x=3 D．无解

二、填空题

18．方程：（2x﹣1）²﹣25=0的解为　　．

19．定义新运算“*”，规则：a*b=，如1*2=2， *．若x²+x﹣1=0的两根为x₁，x₂，则x₁*x₂=　　．

20．方程x³﹣x=0的解为　　．

21．方程x²﹣2x﹣3=0的解是　　．

22．设a和β是方程x²﹣4x﹣5=0的二根，则α+β的值为　　．

23．已知关于x的一元二次方程m²x²+（2m﹣1）x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　　．

24．方程2x²﹣x﹣5m=0有一个根为0，则它的另一个根是　　，m=　　．

25．若2x﹣3与﹣互为倒数，则x=　　．

26．若a是方程x²﹣x+5=0的一个根，则代数式a²﹣a的值是　　．

27．方程x²+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　．

28．若关于x的分式方程有增根，则m的值为　　．

29．一元二次方程2x²=x的解是　　．

30．某列从永川到重庆的火车，包括起始和终点在内共有5个停靠站，小王乘坐这趟列车从永川到重庆，一路上小王在他乘坐的车厢内观测到下列情况：①在起始站（第一站）以后每一站都有车厢内人数（包括小王）的一半人下车；②又有下车人数的一半人上这节车厢；③到第五站（终点站）包括小王在内还有27人．那么起始站上车的人数是　　．

31．家家乐奥运福娃专卖店今年3月份售出福娃3600个，5月份售出4900个，设每月平均增长率为x，根据题意，列出关于x的方程为　　．

32．方程x²﹣3x=0的解是　　．

33．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同，则这个百分率为　　．

34．计算2x²•（﹣3x³）的结果是　　．

35．已知实数a、b（a≠b）分别满足，，试求的值　　．

三、解答题

36．解方程：4x²﹣3x﹣1=0

37．解方程：x²﹣3x﹣1=0．

38．已知x₁，x₂是方程x²﹣2x+a=0的两个实数根，且，求x₁，x₂及a的值．

39．小亮家想利用房屋侧面的一面墙，再砌三面墙，围成一个矩形猪圈，如图所示，现在已备足可以砌12米长的墙的材料．

（1）如果小亮家想围成面积为16m²的矩形猪圈，你能够教他们怎么围吗？

（2）如果小亮家想围成面积为20m²的矩形猪圈，你认为可能吗？说明理由．

40．宏远商贸公司有A、B两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如下表所示：

	体积（m3/件）	质量（吨/件）
A型商品	0.8	0.5
B型商品	2	1

（1）已知一批商品有A、B两种型号，体积一共是20m³，质量一共是10.5吨，求A、B两种型号商品各有几件？

（2）物流公司现有可供使用的货车每辆额定载重3.5吨，容积为6m³，其收费方式有以下两种：

①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费600元；

②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费200元．

要将（1）中的商品一次或分批运输到目的地，宏远商贸公司应如何选择运送、付费方式运费最少并求出该方式下的运费是多少元？

41．解方程组：．

42．已知关于x的方程2x²﹣kx+1=0的一个解与方程的解相同．

（1）求k的值；

（2）求方程2x²﹣kx+1=0的另一个解．

43．如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；

（3）连接OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．

44．解方程：x²﹣6x﹣16=0．

45．解方程：．

参考答案与试题解析

一、选择题

1．若关于x的一元二次方程kx²﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0

【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．

【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx²﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，

∴，即，

解得k＞﹣1且k≠0．

故选B．

【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键．

2．已知x=﹣1是一元二次方程x²+mx﹣5=0的一个解，则方程的另一个解是（　　）

A．1 B．﹣5 C．5 D．﹣4

【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．

【专题】计算题．

【分析】由于该方程的一次项系数是未知数，所以求方程的另一解可以根据根与系数的关系进行计算．

【解答】解：设方程的另一根为x₁，

由根据根与系数的关系可得：x₁•（﹣1）=﹣5，

∴x₁=5；

故本题选C．

【点评】注意该方程的常数项为﹣5，而不是5；代入公式时一定要注意常数项的正负．

3．小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠子”．小刚却说：“只要把你的给我，我就有10颗”，如果设小刚的弹珠数为x颗，小龙的弹珠数为y颗，则列出的方程组正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．

【专题】应用题．

【分析】此题中的等量关系有：

①把小刚的珠子的一半给小龙，小龙就有10颗珠子；

②把小龙的给小刚，小刚就有10颗．

【解答】解：根据把小刚的珠子的一半给小龙，小龙就有10颗珠子，可表示为y+=10，化简得2y+x=20；

根据把小龙的给小刚，小刚就有10颗．可表示为x+=10，化简得3x+y=30．

列方程组为．

故选：A．

【点评】此题要能够首先根据题意中的等量关系直接表示出方程，再结合答案中的系数都是整数，运用等式的性质进行整理化简．

5．已知是二元一次方程组的解，则a﹣b的值为（　　）

A．﹣1 B．1 C．2 D．3

【考点】二元一次方程的解．

【专题】计算题．

【分析】根据二元一次方程组的解的定义，将代入原方程组，分别求得a、b的值，然后再来求a﹣b的值．

【解答】解：∵已知是二元一次方程组的解，

∴

由①+②，得a=2，

由①﹣②，得b=3，

∴a﹣b=﹣1；

故选：A．

【点评】此题考查了二元一次方程组的解法．二元一次方程组的解法有两种：代入法和加减法，不管哪种方法，目的都是“消元”．

6．一元二次方程5x²﹣2x=0的解是（　　）

A．x₁=0，x₂= B．x₁=0，x₂= C．x₁=0，x₂= D．x₁=0，x₂=

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．

【专题】计算题．

【分析】本题可对方程提取公因式x，得到两个相乘的单项式，因为方程的值为0，所以两个相乘的式子至少有一个为0，由此可解出此题．

【解答】解：5x²﹣2x=x（5x﹣2）=0，∴方程的解为x₁=0，x₂=．故选A．

【点评】本题考查一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法．

7．一元一次方程的解是（　　）

A． B．x=﹣1 C．x=1 D．x=﹣2

【考点】解一元一次方程．

【专题】计算题．

【分析】方程中含有分母，可以根据等式性质，方程两边同乘各分母的最小公倍数，就可以去掉原方程的分母．

【解答】解：去分母得：6x﹣3（x﹣1）=12﹣2（x+2），

去括号得：6x﹣3x+3=12﹣2x﹣4，

移项得：6x﹣3x+2x=12﹣4﹣3，

合并得：5x=5，

系数化为1得：x=1．

故选C．

【点评】本题考查了一元一次方程的解法．

解一元一次方程的一般步骤是：去分母；去括号；移项；合并；系数化为1．

注意，去分母时，要用最小公倍数乘方程两边的每一项，不要漏乘不含分母的项．

8．已知a，b是关于x的一元二次方程x²+nx﹣1=0的两实数根，则式子的值是（　　）

A．n²+2 B．﹣n²+2 C．n²﹣2 D．﹣n²﹣2

【考点】根与系数的关系．

【专题】压轴题．

【分析】欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，然后利用一元二次方程根与系数的关系代入数值计算即可．

【解答】解：由题意知，

a+b=﹣n，ab=﹣1，

∴

=

==﹣n²﹣2．

故选D．

【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合是一种经常使用的解题方法．

9．已知方程|x|=2，那么方程的解是（　　）

A．x=2 B．x=﹣2 C．x₁=2，x₂=﹣2 D．x=4

【考点】含绝对值符号的一元一次方程．

【专题】计算题．

【分析】绝对值方程要转化为整式方程，因为|x|=±x，所以得方程x=±2，解即可．

【解答】解：因为|x|=±x，所以方程|x|=2化为整式方程为：x=2和﹣x=2，

解得x₁=2，x₂=﹣2，

故选C．

【点评】考查绝对值方程的解法，绝对值方程要转化为整式方程来求解．要注意|x|=±x，所以方程有两个解．

10．设α，β是方程x²+9x+1=0的两根，则（α²+2009α+1）（β²+2009β+1）的值是（　　）

A．0 B．1 C．2000 D．4 000 000

【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．

【专题】压轴题．

【分析】欲求（α²+2009α+1）（β²+2009β+1）的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式（α²+2009α+1）（β²+2009β+1）=（α²+9α+1+2000α）（β²+9β+1+2000β），再利用根与系数的关系代入数值计算即可．

【解答】解：∵α，β是方程x²+9x+1=0的两个实数根，

∴α+β=﹣9，α•β=1．

（α²+2009α+1）（β²+2009β+1）

=（α²+9α+1+2000α）（β²+9β+1+2000β）

又∵α，β是方程x²+9x+1=0的两个实数根，

∴α²+9α+1=0，β²+9β+1=0．

∴（α²+9α+1+2000α）（β²+9β+1+2000β）

=2000α•2000β

=2000×2000αβ，

而α•β=1，

∴（α²+9α+1+2000α）（β²+9β+1+2000β）=4 000 000．

故选D．

【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

11．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（　　）

A． B．

C． D．

【考点】一次函数与二元一次方程（组）．

【专题】数形结合．

【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两个函数解析式所组成的方程组即为所求的方程组．

【解答】解：根据给出的图象上的点的坐标，（0，﹣1）、（1，1）、（0，2）；

分别求出图中两条直线的解析式为y=2x﹣1，y=﹣x+2，

因此所解的二元一次方程组是．

故选：D．

【点评】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．

12．阅读材料：设一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根为x₁，x₂，则两根与方程系数之间有如下关系：x₁+x₂=﹣，x₁•x₂=．根据该材料填空：已知x₁，x₂是方程x²+6x+3=0的两实数根，则+的值为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10

【考点】根与系数的关系．

【专题】压轴题；阅读型．

【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，求得代数式的值．

【解答】解：∵x₁，x₂是方程x²+6x+3=0的两实数根，

∴x₁+x₂=﹣=﹣6，

x₁•x₂==3，

则+====10．

故本题选D．

【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要会将代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．

一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x₁+x₂=﹣，x₁•x₂=．

13．右边给出的是2004年3月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（　　）

A．69 B．54 C．27 D．40

【考点】一元一次方程的应用．

【专题】图表型．

【分析】一竖列上相邻的三个数的关系是：上面的数总是比下面的数小7．可设中间的数是x，则上面的数是x﹣7，下面的数是x+7．则这三个数的和是3x，因而这三个数的和一定是3的倍数．

【解答】解：设中间的数是x，则上面的数是x﹣7，下面的数是x+7．

则这三个数的和是（x﹣7）+x+（x+7）=3x，

因而这三个数的和一定是3的倍数．

则，这三个数的和不可能是40．

故选D．

【点评】本题解决的关键是观察图形找出数之间的关系，从而找到三个数的和的特点．

14．方程（x﹣1）（x+2）=2（x+2）的根是（　　）

A．1，﹣2 B．3，﹣2 C．0，﹣2 D．1

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．

【专题】计算题．

【分析】因为方程两边都有x+2，所以运用分解因式法求解即可．

【解答】解：原方程变形为：（x﹣1）（x+2）﹣2（x+2）=0，

∴（x+2）（x﹣3）=0，

∴x₁=3，x₂=﹣2．故选B．

【点评】方程整理后，容易分解因式的，用分解因式法求解一元二次方程简单．

15．方程x²﹣2x=0的解是（　　）

A．x=2 B．x=0 C．x₁=0，x₂=﹣2 D．x₁=0，x₂=2

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．

【分析】方程右边为0，左边分解因式即可．

【解答】解：原方程化为x（x﹣2）=0，

x₁=0，x₂=2；故选D．

【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．

16．服装店同时销售两种商品，销售价都是100元，结果一种赔了20%，另一种赚了20%，那么在这次销售中，该服装店（　　）

A．总体上是赚了 B．总体上是赔了

C．总体上不赔不赚 D．没法判断是赚了还是赔了

【考点】一元一次方程的应用．

【专题】销售问题．

【分析】由已知可分别列一元一次方程求出盈利和亏本商品的成本价，然后计算出赚或亏多少．盈利20%就是相当于成本价的1+20%，亏本20%就是相当于成本价的1﹣20%，由此可列方程求解．

【解答】解：设盈利商品的成本价为x元，亏本的成本价为y元，根据题意得：

（1+20%）x=100，（1﹣20%）y=100，

解得：x≈83，y=125，

100﹣83+（100﹣125）=﹣8，

所以赔8元．

故选：B．

【点评】此题考查的知识点一元一次方程的应用﹣销售问题，解题的关键是先由已知列一元一次方程求出两种商品的成本价．

17．解分式方程，可知方程（　　）

A．解为x=2 B．解为x=4 C．解为x=3 D．无解

【考点】解分式方程．

【专题】计算题．

【分析】本题考查分式方程的解法．，可变形为，可确定公分母为（x﹣2）．

【解答】解：原方程可变形为，两边都乘以（x﹣2），得（1﹣x）+2（x﹣2）=﹣1．

解之得x=2．代入最简公分母x﹣2=0，因此原分式方程无解．故选D．

【点评】本题考查分式方程的解法，此题两个分母互为相反数，因此去分母化为整式方程时要注意符号变化．同时要注意去分母时会出现增根，要检验的环节，否则容易出错．

二、填空题

18．方程：（2x﹣1）²﹣25=0的解为　3或﹣2　．

【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．

【专题】计算题．

【分析】把原式变形为（x+a）²=b的形式，用直接开平方法求出2x﹣1，然后进一步求x．

【解答】解：∵（2x﹣1）²﹣25=0，

∴（2x﹣1）²=25，

∴2x﹣1=±5，

∴x₁=3，x₂=﹣2．

【点评】法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

19．定义新运算“*”，规则：a*b=，如1*2=2， *．若x²+x﹣1=0的两根为x₁，x₂，则x₁*x₂=　　．

【考点】根与系数的关系．

【专题】压轴题；新定义．

【分析】根据公式法求得一元二次方程的两个根，然后根据新运算规则计算x₁*x₂的值则可．

【解答】解：在x²+x﹣1=0中，

a=1，b=1，c=﹣1，

∴b²﹣4ac=5＞0，

所以x₁=，x₂=或x₁=，x₂=．

∴x₁*x₂=*=．

【点评】本题考查了运用公式法解一元二次方程，注意定义运算规则里的两种情况．

20．方程x³﹣x=0的解为　0，1，﹣1　．

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．

【分析】首先对方程的左边进行因式分解，然后再解方程即可求出解．

【解答】解：∵x³﹣x=0

∴x（x+1）（x﹣1）=0

∴x=0，x+1=0，x﹣1=0，

∴x₁=0，x₂=1，x₃=﹣1，

∴x₁=0，x₂=1，x₃=﹣1都为原方程得解．

故答案为：0，﹣1，1．

【点评】本题主要考查用因式分法解一元二次方程，关键在于对方程的左边进行正确的因式分解．

21．方程x²﹣2x﹣3=0的解是　x₁=3，x₂=﹣1　．

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．

【分析】先方程左边因式分解，然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解．

【解答】解：方程x²﹣2x﹣3=0左边因式分解，得

（x﹣3）（x+1）=0

解得x₁=3，x₂=﹣1．

【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．

22．设a和β是方程x²﹣4x﹣5=0的二根，则α+β的值为　4　．

【考点】根与系数的关系．

【专题】压轴题．

【分析】由题意a和β是方程x²﹣4x﹣5=0的二根，根据方程根与系数的关系可以求解．

【解答】解：∵a和β是方程x²﹣4x﹣5=0的二根，

∴α+β=4．

【点评】此题是一道典型的考查方程根与系数关系的题，比较简单．

23．已知关于x的一元二次方程m²x²+（2m﹣1）x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　m＜且m≠0　．

【考点】根的判别式．

【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．

【解答】解：∵a=m，b=2m﹣1，c=1，方程有两个不相等的实数根，

∴△=b²﹣4ac=（2m﹣1）²﹣4m²=1﹣4m＞0，

∴m＜．

又∵二次项系数不为0，

∴m≠0

即m＜且m≠0．

【点评】总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

②△=0⇔方程有两个相等的实数根；

③△＜0⇔方程没有实数根．

（2）一元二次方程的二次项系数不为0．

24．方程2x²﹣x﹣5m=0有一个根为0，则它的另一个根是　　，m=　0　．

【考点】一元二次方程的解；根与系数的关系．

【专题】方程思想．

【分析】把一个根0代入方程可以求出m的值，再根据根与系数的关系，由两根之和求出另一个根．

【解答】解：把x=0代入方程有：﹣5m=0

∴m=0．

设另一个根是x₁，则：x₁+0=

∴x₁=

故答案分别是：，0．

【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把已知根代入方程，可以求出字母系数的值，根据根与系数的关系可以求出方程的另一个根．

25．若2x﹣3与﹣互为倒数，则x=　0　．

【考点】解一元一次方程；倒数．

【专题】计算题．

【分析】根据互为倒数的两数之积为1可得出方程，解出即可．

【解答】解：﹣的倒数是﹣3，

∵2x﹣3与﹣互为倒数，

∴2x﹣3=3，

解得：x=0．

故填0．

【点评】本题的关键在于根据题意列出方程，属于比较简单的题目．

26．若a是方程x²﹣x+5=0的一个根，则代数式a²﹣a的值是　﹣5　．

【考点】一元二次方程的解．

【专题】整体思想．

【分析】把a代入方程x²﹣x+5=0，得a的代数式的值，从而求得代数式a²﹣a的值．

【解答】解：把x=a代入方程x²﹣x+5=0，得

a²﹣a+5=0，

∴a²﹣a=﹣5．

【点评】此题主要考查了方程解的定义和整体思想的运用．

27．方程x²+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k＜1　．

【考点】根的判别式．

【分析】一元二次方程x²+2x+k=0有实数根，则△=b²﹣4ac＞0，建立关于k的不等式，求得k的取值范围．

【解答】解：∵a=1，b=2，c=k

∴△=b²﹣4ac=2²﹣4×1×k=4﹣4k＞0，

∴k＜1．

【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

28．若关于x的分式方程有增根，则m的值为　±　．

【考点】分式方程的增根．

【专题】计算题．

【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x﹣3=0，所以增根是x=3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．

【解答】解：方程两边都乘x﹣3，得

x﹣2（x﹣3）=m²，

∵原方程增根为x=3，

∴把x=3代入整式方程，得m=±．

【点评】解决增根问题的步骤：

①确定增根的值；

②化分式方程为整式方程；

③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

29．一元二次方程2x²=x的解是　x₁=0，　．

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．

【分析】由于方程左右两边都含有因式x，所以看把右边的项移到左边后，利用因式分解法解方程．

【解答】解：2x²=x，

2x²﹣x=0，

x（2x﹣1）=0，

x₁=0，x₂=．

【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．

30．某列从永川到重庆的火车，包括起始和终点在内共有5个停靠站，小王乘坐这趟列车从永川到重庆，一路上小王在他乘坐的车厢内观测到下列情况：①在起始站（第一站）以后每一站都有车厢内人数（包括小王）的一半人下车；②又有下车人数的一半人上这节车厢；③到第五站（终点站）包括小王在内还有27人．那么起始站上车的人数是　64　．

【考点】一元一次方程的应用．

【专题】应用题；压轴题．

【分析】设起始站上车的人数是x人．根据题意，知第二站后车内人数是x﹣x+x=x；第三站后车内人数是x﹣x+x=x=（）²x，依此类推，第四站剩下（）³x人，根据第四站（终点站）包括小王在内还有27人列方程求解．

【解答】解：设起始站上车的人数是x人．

根据题意得：（）³x=27，

解得：x=64．

则起始站上车的人数是64人．

【点评】此题能够正确理解题意，根据题意找到规律是解决问题的关键．

31．家家乐奥运福娃专卖店今年3月份售出福娃3600个，5月份售出4900个，设每月平均增长率为x，根据题意，列出关于x的方程为　3600（1+x）²=4900　．

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【专题】增长率问题．

【分析】本题应先用x表示出4月份售出的个数，再表示出5月份售出的福娃个数，令其等于4900即可列出方程．

【解答】解：4月份售出的福娃个数为：3600（1+x），

则5月份售出的福娃个数为：3600（1+x）²=4900．

故填空答案为3600（1+x）²=4900．

【点评】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题目时常常要先解出前一个月份的个数，再列出所求月份的个数的方程，令其等于已知的条件即可．

32．方程x²﹣3x=0的解是　x₁=0，x₂=3　．

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．

【专题】计算题．

【分析】x²﹣3x有公因式x可以提取，故用因式分解法解较简便．

【解答】解：原式为x²﹣3x=0，x（x﹣3）=0，x=0或x﹣3=0，x₁=0，x₂=3．

∴方程x²﹣3x=0的解是x₁=0，x₂=3．

【点评】本题考查简单的一元二次方程的解法，在解一元二次方程时应当注意要根据实际情况选择最合适快捷的解法．

33．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同，则这个百分率为　10%　．

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】增长率问题．

【分析】此题可设降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原来的（1﹣x），第二次降价后的单价是原来的（1﹣x）²，根据题意列方程解答即可．

【解答】解：降价的百分率为x，根据题意列方程得

100×（1﹣x）²=81

解得x₁=0.1，x₂=1.9（不符合题意，舍去）．

所以降价的百分率为0.1，即10%．

故答案为：10%．

【点评】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．

34．计算2x²•（﹣3x³）的结果是　﹣6x⁵　．

【考点】同底数幂的乘法．

【专题】计算题．

【分析】先把常数相乘，再根据同底数幂的乘法性质：底数不变指数相加，进行计算即可．

【解答】解：2x²•（﹣3x³）=﹣6x⁵．

故答案填：﹣6x⁵．

【点评】本题考查了同底数幂的乘法，牢记同底数幂的乘法，底数不变指数相加是解题的关键．

35．已知实数a、b（a≠b）分别满足，，试求的值　　．

【考点】根与系数的关系．

【专题】压轴题．

【分析】由题意实数a、b分别满足，，可知a，b是方程x²﹣3x+=0的两根，可得a+b=3，ab=，然后再代入求解．

【解答】解：∵实数a、b分别满足，，

∴a，b是方程x²﹣3x+=0的两根，

∴a+b=3，ab=，

∴====；

故答案为．

【点评】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，关键是要根据题意找到这个方程，此题是一道很好的题．

三、解答题

36．解方程：4x²﹣3x﹣1=0

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．

【分析】把方程4x²﹣3x﹣1=0进行因式分解，可得（x﹣1）（4x+1）=0，即可解出．

【解答】解：4x²﹣3x﹣1=0，

（x﹣1）（4x+1）=0，

x₁=1，x₂=﹣．

【点评】运用二次三项式的因式分解法进行因式分解，可提高解题效率．

37．解方程：x²﹣3x﹣1=0．

【考点】解一元二次方程﹣公式法．

【专题】计算题．

【分析】此题比较简单，采用公式法即可求得，首先确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解代入公式即可求解．

【解答】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣1，

∴b²﹣4ac=（﹣3）²﹣4×1×（﹣1）=13，

∴x₁=，x₂=．

【点评】此题考查了学生的计算能力，解题的关键是准确应用公式．

38．已知x₁，x₂是方程x²﹣2x+a=0的两个实数根，且，求x₁，x₂及a的值．

【考点】根与系数的关系．

【分析】首先根据一元二次方程根与系数的关系得到x₁+x₂=2，x₁x₂=a，而x₁+2x₂=3﹣，根据前面的等式可以分别求出x₂、x₁及a的值．

【解答】解：∵x₁，x₂是方程x²﹣2x+a=0的两个实数根，

∴x₁+x₂=2 ①x₁x₂=a ②

而x₁+2x₂=3﹣③

∴③﹣①得，

代入①得，

∴a=﹣1．

【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．通过利用根与系数的关系可以得到关于待定系数的方程解决问题．

39．小亮家想利用房屋侧面的一面墙，再砌三面墙，围成一个矩形猪圈，如图所示，现在已备足可以砌12米长的墙的材料．

（1）如果小亮家想围成面积为16m²的矩形猪圈，你能够教他们怎么围吗？

（2）如果小亮家想围成面积为20m²的矩形猪圈，你认为可能吗？说明理由．

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】几何图形问题．

【分析】（1）根据长方形的面积公式列方程求解即可；

（2）同（1）一样列方程，看方程是否有解即可．

【解答】解：（1）设垂直于墙的边长为xm，

则x（12﹣2x）=16，

解得x₁=2，x₂=4，

当x=2时，12﹣2x=8，

当x=4时，12﹣2x=4，

所以垂直于墙的边长为2米或4米；

（2）设垂直于墙的边长为ym，

则y（12﹣2y）=20，

整理得，﹣2y²+12y﹣20=0，

△=144﹣4×（﹣2）×（﹣20）=﹣16＜0，

∴此方程无解，

所以不能够围成．（本题也可以用二次函数说明，面积的最大值为18）（7分）

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．注意根据根的判别式来判断方程是否有解．

40．宏远商贸公司有A、B两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如下表所示：

	体积（m3/件）	质量（吨/件）
A型商品	0.8	0.5
B型商品	2	1

（1）已知一批商品有A、B两种型号，体积一共是20m³，质量一共是10.5吨，求A、B两种型号商品各有几件？

（2）物流公司现有可供使用的货车每辆额定载重3.5吨，容积为6m³，其收费方式有以下两种：

①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费600元；

②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费200元．

要将（1）中的商品一次或分批运输到目的地，宏远商贸公司应如何选择运送、付费方式运费最少并求出该方式下的运费是多少元？

【考点】二元一次方程组的应用．

【专题】阅读型．

【分析】（1）等量关系式为：0.8×A型商品件数+2×B型商品件数=20，0.5×A型商品件数+1×B型商品件数=10.5．

（2）①付费=车辆总数×600；②付费=10.5×200；③按车付费之所以收费高，是因为一辆车不满．∴由于3辆车是满的，可按车付费，剩下的可按吨付费，三种方案进行比较．

【解答】解：（1）设A型商品x件，B型商品y件．

由题意可得．

解之得．

答：A型商品5件，B型商品8件．

（2）①若按车收费：10.5÷3.5=3（辆），

但车辆的容积6×3=18＜20，所以3辆汽车不够，需要4辆车．

4×600=2400（元）．

②若按吨收费：200×10.5=2100（元）．

③先用3辆车运送18m³，剩余1件B型产品，付费3×600=1800（元）．

再运送1件B型产品，付费200×1=200（元）．

共需付1800+200=2000（元）．

∵2400＞2100＞2000

∴先按车收费用3辆车运送18m³，再按吨收费运送1件B型产品，运费最少为2000元．

答：先按车收费用3辆车运送18m³，再按吨收费运送1件B型产品，运费最少为2000元．

【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．

41．解方程组：．

【考点】解二元一次方程组．

【专题】计算题．

【分析】由于方程组两方程中x的系数相同，故可先用加减消元法再用代入消元法求解．

【解答】解：①﹣②得3y=3，y=1

将y=1代入①得x=5，

∴原方程组的解是．

【点评】本题考查的是解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．

42．已知关于x的方程2x²﹣kx+1=0的一个解与方程的解相同．

（1）求k的值；

（2）求方程2x²﹣kx+1=0的另一个解．

【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；解分式方程．

【分析】（1）分式方程较完整，可先求出分式方程的解，代入整式方程即可求得k的值．

（2）根据两根之和=﹣即可求得另一根的解．

【解答】解：（1）解方程：，得

2x+1=4﹣4x．

∴．

经检验是原方程的解．

把代入方程2x²﹣kx+1=0．

解得k=3．

（2）当k=3时，方程为2x²﹣3x+1=0．

由根与系数关系得方程另一个解为：x=﹣=1．

【点评】此题主要考查方程解的意义，及同解方程、解方程等知识．注意运用根与系数的关系使运算简便．

　

43．如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；

（3）连接OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）已知顶点坐标，设抛物线解析式的顶点式y=a（x﹣2）²+1，把O（0，0）代入即可；

（2）∵△MOB与△AOB公共底边OB，最高点A的纵坐标为1，只需要点M的纵坐标为﹣3即可，将y=﹣3，代入解析式可求M点坐标；

（3）由已知△OAB为等腰三角形，点N在抛物线上，只可能OB=BN，即要求∠AOB=∠BON，A、A'要关于x轴对称，通过计算，不存在．

【解答】解：（1）由题意，可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）²+1，

∵抛物线过原点，

∴a（0﹣2）²+1=0，a=﹣．

∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣2）²+1=﹣x²+x．

（2）△AOB和所求△MOB同底不等高，且S_△MOB=3S_△AOB，

∴△MOB的高是△AOB高的3倍，即M点的纵坐标是﹣3．

∴﹣3=﹣x²+x，即x²﹣4x﹣12=0．

解之，得x₁=6，x₂=﹣2．

∴满足条件的点有两个：M₁（6，﹣3），M₂（﹣2，﹣3）

（3）不存在．

由抛物线的对称性，知AO=AB，∠AOB=∠ABO．

若△OBN与△OAB相似，必有∠BON=∠BOA=∠BNO，

即OB平分∠AON，

设ON交抛物线的对称轴于A'点，则A、A′关于x轴对称，

∴A'（2，﹣1）．

∴直线ON的解析式为y=﹣x．

由﹣x=﹣x²+x，得x₁=0，x₂=6．

∴N（6，﹣3）．

过N作NE⊥x轴，垂足为E．在Rt△BEN中，BE=2，NE=3，

∴NB==．

又∵OB=4，

∴NB≠OB，∠BON≠∠BNO，△OBN与△OAB不相似．

同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N点．

所以在该抛物线上不存在点N，使△OBN与△OAB相似．

【点评】本题考查了抛物线解析式的求法，坐标系里的面积问题，探求相似三角形的存在性问题，具有一定的综合性

44．解方程：x²﹣6x﹣16=0．

【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．

【专题】计算题．

【分析】解此一元二次方程选择因式分解法最简单，因为﹣16=﹣8×2，﹣6=﹣8+2，所以x²﹣6x﹣16=（x﹣8）（x+2），这样即达到了降次的目的．

【解答】解：原方程变形为（x﹣8）（x+2）=0

x﹣8=0或x+2=0

∴x₁=8，x₂=﹣2．

【点评】一元二次方程的解法有：配方法，公式法和因式分解法，解题时要注意选择合适的解题方法．

　

45．解方程：．

【考点】解分式方程．

【专题】计算题．

【分析】∵x²﹣1=（x﹣1）（x+1），∴本题的最简公分母是（x﹣1）（x+1）．方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．

【解答】解：方程两边同乘（x﹣1）（x+1），得

2（x﹣1）﹣x=0，

解这个方程，得x=2．

检验：当x=2时，（x﹣1）（x+1）≠0．

∴x=2是原方程的解．

【点评】当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母．

（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解；

（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．

初中数学方程应用题专项练习

1．某药店在防治新型冠状病毒期间，购进甲、乙两种医疗防护口罩，已知每件甲种口罩的价格比每件乙种口罩的价格贵8元，用1200元购买甲种口罩的件数恰好与用1000元购买乙种口罩的件数相同．

（1）求甲、乙两种口罩每件的价格各是多少元？

（2）计划购买这两种口罩共80件，且投入的经费不超过3600元，那么，最多可购买多少件甲种口罩？

2．某汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲，乙两种货车运货情况如表：

	第一次	第二次
甲种货车（辆）	2	5
乙种货车（辆）	3	6
累计运货（吨）	13	28

（1）甲、乙两种货车每辆可装多少吨货物？

（2）王先生要租用该公司的甲、乙两种货车送一批货，如果租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，而乙种货车每辆的运费是甲种货车的1.4倍，结果甲种货车共付运费800元，乙种货车共付运费980元，试求此次甲、乙两种货车每辆各需运费多少元？

3．第十一届江苏书展在苏州国际博览中心设有400个展台，并在全省多地线上、线下同步举行．本届书展设置了“读经典、学四史、童心向党和百年辉煌”等活动．为保障书展的准备工作比原计划提前2天完成，每天准备展台的个数需比原计划增加．

（1）求原计划每天准备展台的个数．

（2）为满足读者购书需求，某厂装订，两种图书共6000本，其中种图书数量不多于种图书数量的，装订一本种图书成本为10元，装订一本种图书成本为15元．设装订种图书（本），问为何值时，两种图书装订总成本（元）最低，最低装订总成本为多少元？

4．元宵节是中国的传统节日，元宵节吃汤圆，寓意着团团圆圆，和和美美，日子越过越红火．元宵佳节，二娃家共15人在家团聚．元宵节当天，二娃和妈妈一起包汤圆，按平均每人吃6个汤圆的量准备．妈妈先包了70个汤圆后，剩下的让二娃一个人完成，两人共用了27.5分钟．已知每分钟妈妈包汤圆的速度是二娃速度的2倍．

（1）元宵节当天，二娃每分钟包多少个汤圆？

（2）第二天，二娃的弟弟也参与进来一起包汤圆，弟弟每分钟包汤圆的速度是妈妈元宵节当天速度的；妈妈和二娃决定提升包汤圆的速度，已知妈妈第二天包汤圆的速度比元宵节当天的速度提升了a%，二娃第二天包汤圆的速度比元宵节当天的速度提升了a%，12分钟后，母子三人包的汤圆比元宵节当天多包了（a﹣2）个，求a的值．

5．随着人们对健康生活的追求，有机食品越来越受到人们的喜爱和追捧，某商家打算花费40000元购进一批有机绿色农产品存放于冷库．实际购买时供货商促销，可以在标价基础上打8折购进这批产品，结果实际比计划多购进400千克．

（1）实际购买时，该农产品多少元每千克？

（2）据预测，该农产品的市场价格在实际购买价的基础上每天每千克上涨0.5元，已知冷库存放这批农产品，每天需要支出各种费用合计为280元，同时，平均每天将有8千克损坏不能出售．则将这批农产品存放多少天后一次性全部出售，该公司可获得利润19600元？

6．新冠疫情肆虐全球，为了预防新冠病毒的传播，口罩成为人们日常生活的必需品，某企业抓住商机，专门购进了两条口罩生产线用于生产N95口罩和普通医用口罩．其中一条生产普通医用口罩生产线每小时比另外一条生产N95口罩的生产线多生产3600只口罩，且一条普通医用口罩生产线生产30000只口罩与一条生产N95口罩的生产线生产12000只口罩所用时间相同．

（1）该企业每小时生产两种口罩各多少只？

（2）该企业根据市场需求，生产了两种口罩共600000只。其中普通医用口罩数量不少于N95口罩的3倍，已知生产一只N95口罩成本0.5元，生产一只普通医用口罩成本0.2元，并且一只N95口罩售价1元，一只普通医用口罩售价0.4元．但由于技术原因，生产出来的N95口罩中有2%产品无法使用．只能销毁，设生产的这批口罩共获利元，求的最大值．

7．忠县某酒厂在去年双12节（12月12日）推出甲、乙两种罐装白酒，营业员在定期盘点时发现双12节后第一周甲、乙两种白酒共卖出100罐，甲种白酒总销售额为14000元，乙种白酒总销售额为27000元，其中每罐乙种白酒的价格是甲种白酒的倍．

（1）求第一周甲种白酒每罐多少元？

（2）今年元旦节时，为提高营业员推销积极性，酒厂制定出如下奖励办法：每卖出1罐甲种白酒按售价的给予营业员奖励，每卖出1罐乙种白酒按售价的0.5％给予营业员奖励；在奖励办法的激励下，元旦节后的第一周甲种白酒的销量比去年双12节后第一周提高了50％，乙种白酒的销量比去年双12节后第一周提高了，若想保证营业员获得的奖励不少于609元，求的最小值．

8．自带保温杯已成为人们良好的健康生活习惯，某学校为教师员工购买甲、乙两种型号的保温杯，购买A型号保温杯共花费6000元，购买B型号保温杯共花费3200元，且购买A型号保温杯数量是购买B型号保温杯数量的3倍，已知购买一个B型号保温杯比购买一个A型号保温杯多花30元，求购买一个A型号保温杯，一个B型号保温杯各需多少钱？

9．列方程解应用题：

随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A，B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送30件，A型机运送800件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？

10．某校准备在健康大药房购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同．

（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？

（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．

（3）在健康大药房累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于m的函数关系式．若该校九年级有1000名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？

参考答案

1．（1）每件乙种商品的价格为40元，每件甲种商品的价格为48元．

（2）最多可购买50件甲种商品．

【分析】

（1）设每件乙种商品的价格为x元，则每件甲种商品的价格为（x+8）元，根据数量=总价÷单价结合用1200元购买甲种口罩的件数恰好与用1000元购买乙种口罩的件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论；

（2）设购买y件甲种商品，则购买（80-y）件乙种商品，根据总价=单价×购买数量结合投入的经费不超过3600元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，取其内的最大正整数即可．

（1）

解：设每件乙种商品的价格为x元，则每件甲种商品的价格为（x+8）元，

根据题意得：，

解得：x=40，

经检验，x=40原方程的解，

∴x+8=48．

答：每件乙种商品的价格为40元，每件甲种商品的价格为48元．

（2）

解：设购买y件甲种商品，则购买（80-y）件乙种商品，

根据题意得：48y+40（80-y）≤3600，

解得：y≤50．

答：最多可购买50件甲种商品．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量=总价÷单价，列出关于x的分式方程；（2）根据总价=单价×购买数量，列出关于y的一元一次不等式．

2．（1）甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物；（2）甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元．

【分析】

（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，根据前两次甲，乙两种货车运货情况表中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出甲、乙两种货车每辆可装货物吨数．

（2）设甲种货车每辆需运费m元，则乙种货车每辆需运费1.4m元，利用租车数量＝总运费÷每辆车的租金，结合租用甲种货车数量比乙种货车数量多1辆，即可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出结论．

【详解】

解答：解：（1）设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种货车每辆可装y吨货物，

依题意得： ，

解得： ．

答：甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每辆可装3吨货物．

（2）设甲种货车每辆需运费m元，则乙种货车每辆需运费1.4m元，

依题意得： ，

解得：m＝100，

经检验，m＝100是原方程的解，且符合题意，

∴1.4m＝1.4×100＝140．

答：甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每辆需运费140元．

【点睛】

本题主要是考查了二元一次方程组和分式方程的实际应用，正确地从题中找到等量关系，列出对应的方程，并正确求解方程，是解决本题的关键．

3．（1）40个

（2）78000元

【分析】

（1）设原计划每天准备展台的个数为x个，由题意：设有400个展台，为保障书展的准备工作比原计划提前2天完成，每天准备展台的个数需比原计划增加25%．列出分式方程，解方程即可；

（2）设装订A种图书x（本），则装订B种图书（6000-x）（本），由题意：A种图书数量不多于B种图书数量的，列出一元一次不等式，解得：x≤2400，再设装订总成本为w元，求出w关于x的一次函数，然后由一次函数的性质求解即可．

【小题1】

解：（1）设原计划每天准备展台的个数为x个，

由题意得：，

解得：x=40，

经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，

答：原计划每天准备展台的个数为40个；

【小题2】

设装订A种图书x（本），则装订B种图书（6000-x）（本），

由题意得：x≤（6000-x），

解得：x≤2400，

设装订总成本为w元，

由题意得：w=10x+15（6000-x）=-5x+90000，

∵-5＜0，

∴w随x的增大而减小，

∴当x=2400时，w最小=-5×2400+90000=78000（元），

答：最低装订总成本为78000元．

【点睛】

本题考查了一元一次不等式组的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

4．（1）二娃每分钟包2个汤圆

（2）20

【分析】

（1）设二娃每分钟包个汤圆，则妈妈包汤圆的速度是个汤圆每分钟，根据题意列分式方程，解方程即可解决问题；

（2）由（1）可知妈妈的速度为每分钟4个汤圆，二娃的弟弟每分钟1个汤圆，进而根据题意列一元一次方程解方程求解即可．

（1）

（1）设二娃每分钟包个汤圆，则妈妈包汤圆的速度是个汤圆每分钟，根据题意，

解得经检验是方程的解

答：二娃每分钟包2个汤圆．

（2）

由（1）可知妈妈的速度为每分钟4个汤圆，二娃的弟弟每分钟1个汤圆，根据题意得，

解得【点睛】

本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．

5．（1）实际购买时该农产品20元每千克．

（2）存放70天后一次性出售可获利19600元．

【分析】

（1）设该农产品标价为x元/千克，则实际为元/千克．根据等量关系40000购买标价x的产品数量+400=40000购买优惠的价格的产品数量，列方程解方程即可；

（2）设存放a天后一次性卖出可获得19600元．根据售价×损失后的数量-a天需要支出各种费用280a元-进价=利润，列方程，解方程即可．

（1）

解：设该农产品标价为x元/千克，则实际为元/千克．

依题意得：，

解得．

经检验，是原方程的解，且符合题意．元/千克．

答：实际购买时该农产品20元每千克．

（2）

解：设存放a天后一次性卖出可获得19600元．

依题意得：，

化简得：，即，

解得．

经检验，是原方程的解，且符合题意．

答：存放70天后一次性出售可获利19600元．

【点睛】

本题考查列分式方程解销售问题应用题，以及列一元二次方程解储存增价损量问题应用题，掌握列方程的方法与步骤是解题关键．

6．

（1）该企业每小时生产生产N95口罩和普通医用口罩分别为2400只，6000只．

（2）163500元

【分析】

（1）设一条生产N95口罩生产线每小时生产N95口罩x只，则一条生产普通医用口罩生产线每小时生产普通医用口罩(x+3600)只，根据一条普通医用口罩生产线生产30000只口罩与一条生产N95口罩的生产线生产12000只口罩所用时间相同列方程即可解答；

（2）设生产N95口罩x只，则生产普通医用口罩 (60000-x)只，根据题意可得关于x的函数解析式，再根据普通医用口罩数量不少于N95口罩的3倍确定x的取值范围，结合一次函数性质即可求出的最大值．

（1）

设一条生产N95口罩生产线每小时生产N95口罩x只，则一条生产普通医用口罩生产线每小时生产普通医用口罩(x+3600)只，根据题意得，

，

解得：，

故一条生产普通医用口罩生产线每小时生产只数=2400+3600=6000，

答：该企业每小时生产生产N95口罩和普通医用口罩分别为2400只，6000只．

（2）

设生产N95口罩x只，则生产普通医用口罩 (600000-x)只，依题意得：

,

又因为普通医用口罩数量不少于N95口罩的3倍，

∴.解得：，

∵中，，随x增大而增大，

∴当时，取最大值，，

答：生产的这批口罩共获利最大值为163500元，

【点睛】

本题主要考查了分式方程的应用和一次函数的应用，解（1）关键是时间相等列出分式方程，解（2）关键是根据利润等于两种口罩利润之和求出的函数解析式．

7．

（1）第一周甲种白酒每罐卖350元；

（2）2

【分析】

（1）设第一周甲种白酒每罐x 元，，则乙种白酒每罐（x+100）元，由题意：第一周甲、乙两种白酒共卖出100罐，甲种白酒总销售额为14000元，乙种白酒总销售额为27000元，其中每罐乙种白酒的价格是甲种白酒的倍．列出分式方程，解方程即可；

（2）先求出甲、乙白酒单价和销量，然后由题意：保证营业员获得的奖励不少于609元，列出一元一次不等式，解不等式即可．

（1）

解：设第一周甲种白酒每罐元，则乙种白酒每罐元，

根据题意，得，

解得．经检验，是原方程的解且符合题意，

答：第一周甲种白酒每罐卖350元；

（2）

解：由（1）可知甲、乙白酒单价分别为350元、450元，销量分别为40罐、60罐．

根据题意，得，

解得，

所以的最小值为2．

【点睛】

本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式．

8．一个A型号保温杯需要50元，则一个B型号保温杯需要80元

【分析】

设购买一个A型号保温杯需要x元，根据购买A型号保温杯数量是购买B型号保温杯数量的3倍列方程求解．

【详解】

解：设购买一个A型号保温杯需要x元，则一个B型号保温杯需要元

依题意可列方程，

解得，

经检验符合题意，

∴B型号保温杯需要80元，

答：购买一个A型号保温杯需要50元，则一个B型号保温杯需要80元．

【点睛】

本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．

9．A型机平均每小时运送快递80件，B型机平均每小时运送快递50件

【分析】

设A型机平均每小时运送快递x件，则B型机平均每小时运送快递（x﹣30）件，

根据时间相等列方程求解即可．

【详解】

解：设A型机平均每小时运送快递x件，则B型机平均每小时运送快递（x﹣30）件，

根据题意得：，

解得：x＝80，

经检验，x＝80是原分式方程的根，且符合题意，

∴80﹣30＝50，

答：A型机平均每小时运送快递80件，B型机平均每小时运送快递50件．

【点睛】

本题考查了分式方程的应用，正确寻找等量关系，是解题的关键．

10．

（1）每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元，50元

（2）5m

（3）当m≤4时，则w=450m；当m＞4时，w=360m+360，需要购买口罩20盒，水银体温计100盒，所需总费用为7560元

【分析】

（1）设每盒水银体温计的价格是x元，则每盒口罩的价格是x+150元，根据“用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同”列出方程，求解即可；

（2）因为购买口罩m盒，可知共有口罩100m个，根据“每位学生发放2只口罩和1支水银体温计”即可列出代数式；

（3）因为购买口罩m盒，则需要200m元，购买5m盒水银体温计，则需要5m×50元．令200m+5m×50=1800，解得m=4，则可分两种情况对w关于m的函数关系进行讨论，当未超过1800元，即当m≤4时，则w=200m+5m×50=450m；若超过1800元，即当m＞4时，w=（200m+5m×50-1800）×0.8+1800=360m+360．根据题中“该校九年级有1000名学生”得到m=20，代入对应得函数关系式中即可得出结果．

（1）

解：（1）设每盒水银体温计的价格是x元，则每盒口罩的价格是x+150元，

根据题意可得：，

解得：x=50，经检验：x=50是原方程的解，

50+150=200元，

∴每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元，50元．

（2）解：∵购买口罩m盒，

∴共有口罩100m个，

∵给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，

∴需要发放支水银体温计，

∴需要购买盒水银体温计．

（3）解：由题意可得：令200m+5m×50=1800，

解得：m=4，

若未超过1800元，即当m≤4时，

w=200m+5m×50=450m，

若超过1800元，即当m＞4时，

w=（200m+5m×50-1800）×0.8+1800=360m+360，

若该校九年级有1000名学生，即=1000，

解得：m=20，

则5m=100；此时 =7560，

答：需要购买口罩20盒，水银体温计100盒，所需总费用为7560元．

初中数学方程综合练习题

一、单选题

1.一元二次方程的解是( )

A. B. C. D.2.直角三角形两条直角边长的和是7，面积是6，则斜边长是（）

A.

B.5

C.

D.7

3.一元二次方程的两根分别为和，则为（ ）

A. B.1 C.2 D.0

4.方程是关于x的一元二次方程，则（ ）

A.

B.

C.

D.

5.若a，为方程的两个实数根，则的值为（ ）

A.

B.12

C.14

D.15

6.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.若，则m的值是（ ）

A.2 B. C.2或 D.不存在

7.已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，下列判断正确的是( )

A.1一定不是关于x的方程的根

B.0一定不是关于x的方程的根

C.1和都是关于x的方程的根

D.1和不都是关于x的方程的根

8.关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是( )

A. B. C. 且 D. 且9.一个正方体的表面展开图如图所示，已知正方体相对两个面上的数值相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“”面上的数为( )

A.1 B.1或2 C.2 D.2或3

10.定义一种新运算：.例如，.若，则x的值是( )

A. B. C. D.二、解答题

11.已知关于x的一元二次方程.

（1）求方程的根；

（2）当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？

12.阅读材料:

把形如 (为常数)的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即.

例如:是的三种不同形式的配方，即“余项”分别是常数项、一次项、二次项.

请根据阅读材料解决下列问题:

(1)仿照上面的例子，写出的三种不同形式的配方;

(2)已知，求的值.

三、填空题

13.已知是关于x的方程的一个根，则a＝ .

14.关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是 .

15.若关于x的一元二次方程的两根之积为-1，则m的值为 .

16.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数.若将实数对放入其中，得到，则 .

17.已知关于x的方程的两根分别是，且满足，则 .

参考答案

1.答案：C

解析：方程变形为，

将方程左边因式分解得，

所以.

2.答案：B

解析：设其中一条直角边的长为x，则另一条直角边的长为，由题意，得，解得由勾股定理，得斜边长为.故选B

3.答案：D

解析：∵一元二次方程的两根分别为和，

∴．

故选：D．

4.答案：B

解析：由题意可知，得或，但当时，二次项系数为0，方程不是二次方程，故5.答案：B

解析：为方程的两个实数根，故，从而.

6.答案：A

解析：由题意得，，解得且.

解得（舍去），所以m的值为2.

7.答案：D

解析：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，

或.

当时，有，此时是方程的根；

当时，有，此时1是方程的根.

，和不都是关于x的方程的根.

当时，0是关于x的方程的根.

综上，D正确.

8.答案：D

解析：根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两个不等式解集的公共部分即可.

9.答案：C

解析：正方体的平面展开图共有六个面，其中面“”与面“”相对，面“”与面“”相对.

因为相对两个面上的数值相同，

所以，解得或.

又因为不相对两个面上的数值不相同，当时，，

所以x只能为1，即.

10.答案：D

解析：整理，得，

因式分解，得，

或，

.故选D.

11.答案：（1）解：根据题意，得则（2）由（1），知.

方程的两个根都为正整数，是正整数，

或，解得或3.

即m为2或3时，此方程的两个根都为正整数。

解析：

12.答案：(1).

(2)所以所以.

所以.

解析：

13.答案：解析：把代入方程，得，解得

14.答案：解析：方程的解是，

方程中或，解得.

15.答案：-1

解析：由根与系数的关系可得，

解得.

故答案为:.

16.答案：2

解析：根据题意得，

整理得，所以.

17.答案：2

解析：的两根分别是,

解得.经检验，满足题意.

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